Примери за универсални алгебри, подалгебри, хомоморфизъм и изоморфизъм на алгебри
Нека A е произволно множество. n-локална операция върху A е функция (преобразуване) f: A n → A, A n = A⋅…⋅A . Нулевата операция върху A е елемент от A. Нека n(f) е локалността (арността) на операцията върху f. Универсалната алгебра е система U = (A, Ω), където A е някакво множество, Ω=i ni (x1,…,xn): i=1,2,…>. Типът на универсалната алгебра U е последователността (n1, n2, ..) от арити на функциите fi. Сигнатурата е набор Ω от символи на операции от Ω.
Дефиниция : Алгебрата U=(A,Ω) се нарича крайна, ако множеството A е крайно, и от краен тип, ако множеството е крайно.
Пример: 1. Системата (N,) с операция събиране на естествени числа е универсална алгебра от тип 2 на сигнатурата. 2. Системата (Z, ) с операции събиране и умножение на цели числа Z е универсална алгебра от тип (2,2), сигнатура . 3. Система (Q,) с операции събиране и др. е универсална алгебра от тип (2,2,2,2), сигнатура . Операцията за разделяне не е дефинирана навсякъде. 4. Система (R,) с операции събиране, умножение, изваждане, деление, степенуване 1,…,n,… е универсална алгебра от тип (2,2,2,2,1,1,1…), сигнатура . 5. Булевата алгебра (,) е универсална алгебра от тип (2,2,2,1), сигнатура .
Дефиниция : Нека U=(A,Ω) е алгебра. Суперпозиция върху Ω се дефинира чрез индукция, както следва: 1) Всяка функция от Ω е суперпозиция върху Ω. 2) Ако функция от f(x1, . xn)∈Ω и всяка от g1,…,gn е или суперпозиция върху Ω, или променлива, тогава f(g1,…,gn) е суперпозиция върху Ω.
Забележка : Суперпозицията над Ω е обикновено заместване на функция от Ω. Нека S(x1,…,xn) е суперпозицията върху Ω в алгебрата U=(A,Ω) и елементите a1,…,an∈A, тогава S(a1,…,an) е стойността на суперпозицията S върху a1,…,an.
Забележка : Затварянето на A1 в алгебрата U е множеството от всички стойности на всички суперпозиции с всякакви аргументи от A1. 1. A1⊆[A1]. 2. [[A1]]=[A1]. 3. A1⊆A2 → [A1]⊆[A2].
Дефиниция : Множеството A1 е затворено при операция f, ако A1=[A1].
Дефиниция : Нека U=(A,Ω) е алгебра и A1⊆A е непразно подмножество на A. Множеството A1 е затварянето на множеството A1 в алгебрата U1, ако: 1. A1⊆[A1]. 2. ∀f n ⊆Ω за ∀a1. an∈A1 f(a1.an)∈[A1] . 3. ∀a∈[A1] (a∈A1 или съществува суперпозиция g(y1. ym върху Ω, ∃b1. bm∈A1).
Забележка : С други думи: множеството [A1] е затварянето на множеството A1 в алгебрата U, ако A1⊆[A1] или, за всяка суперпозиция над Ω, всяка от неговите стойности за всеки елемент от A1 е включена в [A1. Алгебра U1 = (A1,Ω) е подалгебра на U, ако A1 е затворена в U, A1=[A1]. Подалгебрата U1=(A1,Ω) се нарича подалгебра, генерирана от системата от генератори A1.
Пример: Система (N,) (N-набор от естествени числа). Множеството от четни числа N2 е подалгебра в алгебрата (N,).
Теорема : Ако наборът i=(Ai,Ω) такъв, че i∈I> е семейство от подалгебри на алгебрата U=(A,Ω), то непразното пресичане (∩Ai, Ω) е подалгебра на алгебрата U.
Теорема : Подалгебрата U[A1]=([A1], Ω) на алгебрата U=(A,Ω) е пресечната точка UD=(∩Bi, Ω), Ui(Bi, Ω), i∈I. Всички подалгебри на алгебрата U, за които A1⊆B1.
Хомоморфизъм на универсалните алгебри
Нека UA = (A, i mi : i=1,2. >), UB=(B, i mi : i=1,2. >), са две универсални алгебри от един и същи тип (n1,n2,…). Карта φi A→B е хомоморфизъм от UA към UB, ако функцията φ запазва операции в UA, т.е. за ∀a1. ani∈A за всеки i=1,2,… φ(fi ni (a1. ani))=gi ni (φ(a1),…,φ(ani)). Хомоморфизъм едно към едно между UA и UB е изоморфизъм. Изоморфизмът на UA в себе си еавтоморфизъм.
Забележка : Теорията на универсалните алгебри изучава главно абстрактните свойства на алгебрите, т.е. свойства, запазени при хомоморфи, изоморфи, автоморфи.
Пример: Нека U1=(R+,) и U1=(R,) са две алгебри, дефинирани върху подмножества от реални числа. Преобразуването едно към едно φ(x) = ln x: R+→R е изоморфизъм от U1 към U2, тъй като φ(x,y) = ln (x*y) = ln(x) + ln(y) = φ(x) + φ(y).
Теорема : Хомоморфното преобразуване на една алгебра в друга алгебра, образът на подалгебра и пълният прообраз на подалгебра са подалгебри.