Признак за делимост на 4, примери, доказателство на признака
Продължаваме да изучаваме признаците на делимост. В тази статиязнакът за делимост на 4 е анализиран. Първо е дадена неговата формула и са дадени примери за употреба. След това е показано доказателството на теста за делимост на 4. В заключение се разглеждат подходи, които позволяват да се докаже делимостта на 4 на числа, дадени като стойност на буквален израз.
Навигация в страницата.
Признак за делимост на 4, примери
За да проверите дали дадено едноцифрено естествено число се дели на 4, най-лесно е да извършите деленето директно, от едноцифрените числа само 4 и 8 се делят на 4. Делението на двуцифрено естествено число на 4 също не е трудно (дори и при устно деление). Например 24 се дели на 4 без остатък, тъй като 24:4=6, а 83 не се дели на 4, тъй като 83:4=20 (остатък 3) (ако е необходимо, вижте статиите правила и примери за деление на естествени числа и правила и примери за деление на естествени числа с остатък). Но колкото повече цифри съдържа едно число, толкова по-„неприятно“ е да се дели.
За по-проста проверка на делимостта на дадено многоцифрено число имазнак за делимост на 4, който свежда изучаването на дадено число а върху способността му да се дели на 4 до проверка за делимост на едноцифрено или двуцифрено число. Представяме формулировката на тази функция. Цяло число a се дели на 4, ако числото, съставено от последните две цифри в записа на числото a (в техния ред) се дели на 4 ; ако съставеното число не се дели на 4, то числото а не се дели на 4.
Разгледайтепримери за прилагане на теста за делимост на 4.
Кои от числата −98028, 7612 и 999888777 се делят на 4?
Нека използваме знака за делимост на 4.
Последните две цифри на цялото числоотрицателното число -98028 дава числото 28, тъй като 28 се дели на 4 (28:4=7), тогава числото -98028 също се дели на 4.
Последните две цифри на 7612 са 12, а 12 се дели на 4 (12:4=3), така че 7612 се дели на 4.
И накрая, последните две цифри на числото 999 888 777 дават числото 77, тъй като 77 не се дели на 4 ( 77:4=19 (ост.1)), тогава оригиналното число не се дели на 4 .
А как да приложим знака за делимост на 4, ако последните две цифри във въведеното число са например 01 , 02 , 03 , ..., 09 ? В тези случаи числото 0 отляво трябва да се изхвърли, след което ще остане едноцифреното число 1, 2, 3, ..., 9.
Числата 75003 и −88108 делят ли се на 4?
Нека погледнем последните две цифри в записа на числото 75 003 - виждаме 03, изхвърляме нулата отляво и имаме числото 3. Тъй като 3 не се дели на 4, тогава въз основа на делимостта на 4 можем да заключим, че 75 003 не се дели на 4.
По същия начин последните две цифри в записа на числото -88108 съставляват числото 8 и тъй като 8 се дели на 4, то числото -88108 също се дели на 4.
75003 не се дели на 4, но −88108 се дели на 4.
Отделно трябва да се каже за числата, в записа на които две последователни цифри (или повече от тях) са нули вдясно. Нека дадем примери за такива числа: 100 , 893 900 , 40 000 , 373 002 000 и т.н. Такива числа се делят на 4. Нека обосновем това.
Числото 100 се дели на 4. Наистина, 100:4=25 . Правилото за умножаване на число по 100 ви позволява да представите всяко друго цяло число a, чийто запис завършва с две нули, като продукт a1 100, където числото a1 се получава от числото a, ако две нули са изхвърлени в неговия запис отдясно. Например 588 300=5 883 100 и 30 000=300 100 . И продуктът a1 100 се дели на 4, тъй като съдържа множител 100,което се дели на 4 (виж свойствата на делимостта). Така се доказва, че всяко цяло число, в записа на което има две нули вдясно, се дели на 4.
Доказателство за теста за делимост на 4
За да докажем теста за делимост на 4, имаме нужда от следното представяне на естествено число a. Всяко естествено число a може да бъде представено като a=a1 100+a0 , където числото a1 се получава от числото a, ако последните две цифри се премахнат от неговия запис, а числото a0 съответства на последните две цифри в записа на числото a . Например 5431=54 100+31 . Ако числото a е едноцифрено или двуцифрено, тогава a=a0 .
Имаме нужда и от две свойства на делимост:
- за да се дели цяло число a на цяло b, е необходимо и достатъчно модулът на a да се дели на модула на b;
- ако в равенството a=s+t всички членове, с изключение на някой, се делят на някакво цяло число b, то този член също се дели на b.
Сега можем да дадемдоказателство за теста за делимост на 4, който предварително ще преформулираме като необходимо и достатъчно условие за делимост на 4 .
За да се дели цяло число a на 4, е необходимо и достатъчно числото, съответстващо на последните две цифри в записа на числото a, да се дели на 4.
За a=0 теоремата е очевидна.
За останалите цели числа a модулът на a е положително число и може да бъде представен като , както казахме преди теоремата.
В края на първия параграф на тази статия показахме, че произведението a1 100 винаги се дели на 4 . Ако вземем предвид и свойствата на делимостта, дадени преди теоремата, тогава стигаме до следните изводи.
Ако числото a се дели на 4, то модулът на числото a също се дели на 4, тогава от равенството следва, че числото a0 се дели на 4. Това доказва необходимостта.
С другстрана от делимостта на a0 на 4 и равенството следва делимостта на 4 на модула a , откъдето следва делимостта на 4 на самото число a. Това доказва достатъчността.
Други случаи на делимост на 4
Понякога се изисква да се провери делимостта на 4 на цяло число, което е дадено като стойност на някакъв израз. В такива случаи директна делба не е възможна. Освен това използването на знака за делимост на 4 не винаги е възможно. Как да бъдем в тези случаи?
Основната идея е да доведем оригиналния израз до произведението на няколко множителя, единият от които се дели на 4 . В този случай, въз основа на съответното свойство на делимост, ще бъде възможно да се заключи, че оригиналният израз се дели на 4.
Понякога биномната формула на Нютон помага да се получи такова представяне. Нека вземем пример за пояснение.
Стойността на израза дели ли се на 4 за някакво естествено n?
Представяме 9 като 8+1, след което използваме биномната формула на Нютон:
Полученото произведение се дели на 4, тъй като съдържа множител 4, а изразът в скоби е естествено число. Следователно се дели на 4 за всяко естествено n.
Доста често методът на математическата индукция позволява да се докаже делимостта на 4 на някакъв израз. Ще покажем как се прави това, използвайки условието от предишния пример.
Докажете, че се дели на 4 за всяко естествено n.
Нека покажем, че за n=1 стойността на израза се дели на 4 . Имаме и 4 се дели на 4.
Да предположим, че се дели на 4 за n=k, тоест ще приемем, че се дели на 4.
Нека докажем, че се дели на 4 за n=k+1, като се има предвид, че се дели на 4. .
В получената сума първият член се дели на 4, тъй като предположихмекоето се дели на 4. Вторият член също се дели на 4, защото съдържа множител 4. Следователно целият сбор се дели на 4.
И така, чрез метода на математическата индукция беше доказано, че то се дели на 4 за всяко естествено n.
Друг подход за доказване на делимостта на някакъв израз на 4 е следният. Ако покажем, че стойността на дадения израз (с променливата n ) за n=4 m , n=4 m+1 , n=4 m+2 и n=4 m+3 , където m е цяло число, се дели на 4 , тогава това ще докаже делимостта на оригиналния израз на 4 за всяко цяло число n .
Докажете, че стойността на израза за всяко цяло число n се дели на 4.
За n=4 m имаме . Този продукт съдържа множител 4, а останалите множители са цели числа, така че целият продукт се дели на 4.
За n=4 m+1 имаме Полученият продукт съдържа множителя 4, така че се дели на 4.
За n=4 m+2 получаваме Този продукт съдържа множител 8, делим на 4, така че целият продукт се дели на 4.
За n=4·m+3 имаме Полученият продукт се дели на 4, защото съдържа множителя 4 .
Това доказва делимостта на оригиналния израз на 4 за всяко цяло число n.