Проблеми на математическите олимпиади
Анализ на класическата математическа игра
На масата има 25 мача. Двама играчи на свой ред могат да вземат 1, 2, 3 или 4 мача. Печели този, който вземе последната клечка. Кой печели с правилна игра? Решете същия проблем, ако играчите могат да вземат 1, 3 или 6 мача.
Първият вариант на играта е играта на Баше с максимален ход равен на 4. Ще анализираме играта "от края". Ако останат 1, 2, 3 или 4 мача, тогава играчът, чийто ред е да ги вземе, печели. Ако останат 5 мача, тогава без значение колко мача вземете, вторият играч взема останалите и печели. Следователно, трябва да се опитате да напуснете противника 5 мача след вашия ход. Това може да стане, като имате от 6 до 9 съвпадения на масата по време на своя ред.
Освен това откриваме, че ако на масата останат 10 мача, тогава играчът, който прави хода, ще загуби, защото колкото и да вземе, противникът ще може да му остави 5 мача сам. Освен това, по подобен начин определяме, че броят мачове, равен на 15, 20 и 25, са губещи за играча, който прави ход.
Тъй като в началото има 25 мача, решението е следното: вторият играч ще спечели, ако винаги напуска първия брой мачове, кратен на 5, сам.
И в общия случай: ако в играта на Баше играчите могат да правят ходове от 1 до k, тогава за победа е необходимо да оставят няколко (k + 1) броя мачове за противника. И ако първоначалното число също е кратно на (k + 1), тогава вторият играч печели, а ако не, тогава първият.
Втората игра в задачата е много по-интересна. На неговия пример можете да научите как да намерите печеливша стратегия за почти всяка математическа игра.
Общо в играта могат да се формират 26 позиции: от 25 до 0 мача на масата. Нека изградим таблица от 26 колони (това е удобно да се направи на листове вклетка)