Производна, УПО по математика (профил), Теория към задача 7
Теория към задача 7 от изпита по математика (профил)
Производната на функция $y = f(x)$ в дадена точка $х_0$ е границата на съотношението на нарастването на функцията към съответното увеличение на нейния аргумент, при условие че последното клони към нула:
Диференцирането е операция за намиране на производна.
Таблица на производните на някои елементарни функции
| функция | Производна |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^$ |
| $/$ | $-/$ |
| $√x$ | $/$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $/$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $/$ |
| $ctgx$ | $-/$ |
Основни правила за диференциране
1. Производната на сбора (разликата) е равна на сбора (разликата) на производните
Намерете производната на функцията $f(x)=3x^5-cosx+/$
Производната на сбора (разликата) е равна на сбора (разликата) на производните.
2. Производна на продукт
Намерете производната $f(x)=4x cosx$
3. Производна на частното
4. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на външната функция и производната на вътрешната функция
Физическото значение на производната
Ако материална точка се движи по права линия и нейната координата се променя в зависимост от времето по закона $x(t)$, тогава моментната скорост на тази точка е равна на производната на функцията.
Точката се движи по координатната права по закона $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, където $x(t)$ е координатата в момент $t$. В кой момент скоростта на точката ще бъде равна на $12$?
1. Скоростта е производната на $x(t)$, така ченамерете производната на дадената функция
$v(t) = x'(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. За да намерим в кой момент от време $t$ скоростта е била равна на $12$, съставяме и решаваме уравнението:
Геометричният смисъл на производната
Спомнете си, че уравнението на права линия, която не е успоредна на координатните оси, може да бъде записано като $y = kx + b$, където $k$ е наклонът на правата линия. Коефициентът $k$ е равен на тангенса на наклона между правата линия и положителната посока на оста $Ox$.
Производната на функцията $f(x)$ в точка $x_0$ е равна на наклона $k$ на допирателната към графиката в дадената точка:
Следователно можем да направим общо равенство:
На фигурата допирателната към функцията $f(x)$ нараства, следователно коефициентът $k > 0$. Тъй като $k > 0$, тогава $f'(x_0) = tgα > 0$. Ъгълът $α$ между допирателната и положителната посока $Ox$ е остър.
На фигурата допирателната към функцията $f(x)$ намалява, следователно коефициентът $k 0$
За да намерим $f'(x_0)$, намираме тангенса на наклона между допирателната и положителната посока на оста $Ox$. За да направим това, завършваме допирателната към триъгълника $ABC$.
Намерете тангенса на ъгъла $BAC$. (Тангенса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на срещуположния катет към съседния катет.)
$f'(x_0) = tg BAC = $0,25
Производната се използва и за намиране на интервалите на нарастващи и намаляващи функции:
Ако $f'(x) > 0$ на интервала, тогава функцията $f(x)$ нараства на този интервал.