Промяна на променливи в диференциални изрази
Търсене в навигационен изглед
Навигация
- Тук ли си:
- У дома
- Математически анализ
- Промяна на променливи в диференциални изрази.
Промяна на променливи в диференциални изрази.
Литература: Сборник задачи по математика. Част 1. Под редакцията на А. В. Ефимов, Б. П. Демидович.
Често в диференциалните изрази производните по отношение на една променлива, включена в тях, трябва да бъдат изразени чрез производни по отношение на нови променливи.
Примери.
7.165. Трансформирайте уравнението $$x^4\frac+2x^3\frac-y=0,$$, като зададете $x=\frac.$
Решение.
Нека заместим намерените стойности на производните и израза $x=\frac$ в даденото уравнение.
Отговор: $\frac-y=0.$
7.167. Трансформирайте уравнението $$3\left(\frac\right)^2-\frac\frac-\frac\left(\frac\right)^2=0,$$ като вземете $y$ като аргумент.
Решение.
Нека изразим производните на $y$ по отношение на $x$ чрез производните на $x$ по отношение на $y:$ $$\frac=\frac>,$$
Заместваме получените изрази за производни в даденото уравнение. Получаваме
Така че получихме отговора.
7.168. Преобразувайте уравнението $$(xy'-y)^2=2xy(1+y'^2),$$ в полярни координати.
Решение.
$$dx=\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi,\qquad dy=\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi,$$
$$r^4 d\varphi^2=r^2\sin2\varphi dr^2+r^4\sin 2\varphi d\varphi^2\Rightarrow$$
$$\sin2\varphi dr^2=(1-\sin 2\varphi)r^2 d\varphi^2 \Rightarrow\left(\frac\right)^2=\frac r^2\Rightarrow$$
7.170. Трансформирайте уравнение $$(x+y)\frac-(x-y)\frac=0,$$ чрез преминаване към нови независими променливи $u$ и $v,$, ако $u=\ln\sqrt,\,\, v=arctg\frac.$
Решение.
Нека изразим частните производни на $z$ по отношение на $x$ и $y$ чрез частните производни на $z$ по отношение на $u$ и $v.$
Заместваме намерените изрази за производни в даденото уравнение:
7.174. Трансформирайте уравнението $$(xy+z)\frac+(1-y^2)\frac=x+yz,$$ като нови независими променливи $u=yz-x,\,\, v=xz-y$ и нова функция $w=xy-z.$
Решение.
$$ ydx+xdy-dz =\frac\cdot \left(-dx+zdy+ydz\right) +\frac\cdot \left(zdx+xdz-dy \right)\Rightarrow$$
Заместете намерените изрази $\frac$ и
$\frac$ в даденото уравнение. Вземете