Пространство с възможност за измерване, Математика, FANDOM, захранвано от Wikia

Метризуемо пространствое топологично пространство, хомеоморфно на някакво метрично пространство. С други думи, пространство, чиято топология е генерирана от някаква метрика.

Ако такава метрика съществува, тогава тя не е уникална, освен в тривиални случаи: когато пространството е празно или се състои само от една точка. Например, топологията на всяко метризуемо пространство се генерира от някаква ограничена метрика.

Необходими условия за метризуемост Редактиране

В метризуемо пространство са валидни силните аксиоми за разделимост: те са нормални и дори колективно нормални.
Всяко метризуемо пространство е паракомпактно.
Всички метризуеми пространства удовлетворяват първата аксиома за изброимост.
За всяко метризуемо пространство числото на Суслин, числото на Линдельоф, плътността, степента и теглото съвпадат.

Достатъчно условие за възможност за измерване Редактиране

Еквивалентни условия за възможност за измерване Редактиране

Първият общ критерий за метризуемостта на пространството е предложен през 1923 г. от П. С. Александров и П. С. Урисон. Въз основа на него са разработени следните два по-съвършени критерия за метризуемост:

едно пространство е метризуемо тогава и само ако е колективно нормално и има изброимо рафиниращо множество от отворени корици;
(Критерий на Стоун-Архангелски) Едно пространство е метризуемо тогава и само ако има изброимо фундаментално множество от отворени корици и удовлетворява $ T_1 $ -аксиомата за разделимост. Освен това, набор от отворени покрития на пространството $ X $ се нарича фундаментален, ако за всяка точка $ x\in X $, всеки от нейните околности $ U_x $ има покрития $ \mathcal P $ иоколност $ O_x $ на точка $ x $, така че всеки елемент от $ \mathcal P $, който пресича $ O_x $, се съдържа в $ U_x $.

Друга важна концепция, локалната ограниченост, е основата за общи критерии за метризация.

Критерият Нагата-Смирнов: пространство $X$ е метризуемо тогава и само ако е редовно и има база, разлагаща се на изброимо множество от локално крайни семейства от множества.

Критерият на Bing е подобен, но той използва дискретни семейства от набори вместо локално крайни. Удобни варианти на горните основни критерии за метризуемост са свързани с концепциите за единна основа и правилна база. База $ \mathcal B $ на пространство $ X $ се нарича регулярна (равномерна), ако за всяка точка $ x\in X $ и всяка околност $ O_x $ съществува околност $ U_x $ на тази точка, така че броят на елементите на основата $ \mathcal B $, които едновременно пресичат $ U_x $ и допълнението на $ O_x $, е краен (съответно, ако множеството от елементи $ \Omega\in \mathcal B $ така че $ \Omega\ni x $ , $ \Omega\ не\подмножество O_x $ разбира се).

Пространство $ X $ е метризуемо тогава и само ако е колективно нормално и има еднаква основа.
За да може едно $ T_1 $ -пространство да бъде метризуемо, е необходимо и достатъчно то да има регулярна база.

Специални случаи Редактиране

Критериите за метризация постигат простота в редица специални класове пространства. По този начин, за да може компактният $ X $ да бъде метризуем, всяко от следните три условия е необходимо и достатъчно:

X има изброима основа;
X има изброяема с точки основа;
X има изброима мрежа;

За да може пространството на една топологична група да бъде метризуемо, е необходимо същодостатъчно е първата аксиома за изброимост да е валидна в последното и тогава пространството може да се измери чрез инвариантна метрика (например по отношение на умножението отляво).

Относно пълнотата Редактиране

Не всяко метризуемо пространство е метризуемо чрез пълна метрика; такова е например пространството на рационалните числа. Едно пространство е метризуемо чрез пълна метрика тогава и само ако е метризуемо и е набор от тип $ G_\delta $ в някакъв компакт, който го съдържа. Важно топологично свойство на пространствата, метризуеми чрез пълна метрика, е свойството на Баер: пресечната точка на всяко изброимо семейство от навсякъде плътни отворени множества е навсякъде плътно.

Вариации и обобщения Редактиране

До метризуемите пространства пространствата на Моров са най-близки по свойства – напълно правилни пространства с изброимо, рафинирано семейство от отворени покрития и дантелени пространства.

Широка гама от обобщения на концепцията за метризуемо пространство се получава чрез промяна на аксиомите на метриката, отслабването им по един или друг начин и разглеждане на топологиите, генерирани от такива "метрики". По този начин се получават симетризируеми пространства – като се изостави аксиомата за неравенството на триъгълника. Моровските пространства също се вписват в тази схема. Друго важно обобщение на концепцията за метризуемост е свързано с разглеждането на "метрики" със стойности в полуполета и други алгебрични образувания от общ характер.