СИЛНА АСИМПТОТИКА НА ДВУТОЧКОВИ АПРОКСИМАЦИИ ПО ПАДЕ НА МНОГОЗНАЧНИ СТЕПЕННИ ФУНКЦИИ - тема
Цена:
Автори на произведението:
Научно списание:
Година на издаване:
СИЛНА АСИМПТОТИКА НА ДВУТОЧКОВИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО ПЕЙД НА МНОГОЗНАЧНИ СТЕПЕННИ ФУНКЦИИ
ДОКЛАДИ НА АКАДЕМИЯТА НА НАУКИТЕ, 2014, том 455, № 2, с. 138-141
В теорията на апроксиматорите на Паде (AP) е добре известна теоремата на Stahl [11] (виж също [1]) за сходимостта на диагоналните AP (с център в точката r = da), която е валидна, по-специално, в класа на многозначни аналитични функции с краен брой точки на разклонение върху сферата на Риман. Наскоро в работата на V.I. Буслаев [4], в този клас аналитични функции е доказана теорема, която обобщава теоремата на Щал за случая на двуточкови (в точките r = 0 и r = da) AP двойки функции: / холоморфни в точката r = 0 (/ e W(0)) и / w холоморфни в точката r = da (/W e W(da)). Основната разлика между теоремата на Буслаев е, че в този проблем в "типичния случай"
на поведението на всички нули на полиномите на Паде остава отворен. Отбелязваме, че този проблем все още не е напълно решен дори за класическите AP (виж [2]).
Ще изследваме двуточков AP, конструиран от два зародиша u0 и u0 (съответно в точките 0 и da) на една и съща многозначна аналитична функция със следната форма:
u(r) = u(r; M, a) := P(r - a-
където p > 2, a, - e S \ F,
ap са произволни различни точки в
разделяне на риманова сфера на две области B0 e 0 C* = C\; M = , a =
и E da така, че елементът/0 продължава аналитично в домейна S0, елементът/ се разширява аналитично в домейна Sw и диагоналната двуточкова AP, конструирана от /0 e W(0) и f e W(a), се сближава по капацитет към функцията f0 e W(B0) върху компактни подмножества на домейна S0 и към функцията f e W(Bsh) върху компактни подмножества на домейна Bs. КомпактенГ = dB0 и dBS е свързан и се състои от крайно обединение на аналитични дъги. В [4] е доказано, че съществува гранично разпределение на нули на двуточкови полиноми на Паде (виж (3)), съвпадащо с равновесната мярка X на компакта Γ в потенциалното поле
f(g):= 11pg. Така в [4] въпросът за
асимптотичното поведение на "почти всички" нули на такива полиноми на Паде, с изключение на o(n) от тях (т.е. открита е слаба асимптотика на тези полиноми на Паде). Въпросът за пълното описание на асимптотиката
Математически институт. В. А. Стеклов Българска академия на науките, Москва
В настоящата статия за двуточкови AP, конструирани от двойка зародиши o0 e o, o0 e o, получаваме диференциално уравнение от втори ред с полиномни допълнителни параметри (вижте Теорема 1), което е подобно на диференциалното уравнение на Laguerre за класически AP (вижте [6], а също и [8–10]). След това, за случая p = 2, използвайки това уравнение, решаваме проблема за силната асимптотика на двуточковите полиноми на Паде, конструирани от два зародиша на многозначна функция
u(r) = u(r; ab a2, a):= (r - a1 )a(r - a2)-a (2)
(виж теорема 2). Това се прави подобно на [7, 8, 10], а именно основният член на асимптотиката се конструира с помощта на метода на LO-апроксимации [5, глава 2, § 2, раздел 2.1] за решения на полученото уравнение. В този случай, както в [10] и [8] се използва теоремата на Щал [11] за класическата АП, тук използваме теоремата на Буслаев [4]. Оценките за останалите членове се оказват от порядък 01) . В случай на обикновени AP, в (2) винаги може да се избере a1 = 1,
СИЛНА АСИМПТОТИКА НА ДВУТОЧКОВИ ПРИБЛИЖЕНИЯ НА ПЕЙД
a2 = -1 и за a e (-1, 1) полиномите на Паде съвпадат
2. ДВУТОЧКОВ АП И ТЕОРЕМА НА БУСЛАЕВ
Нека дадем дефиницията на двуточков AP. Нека / 0 e W(0), / e Ua).Двуточковите полиноми на Паде Pn, e Pn := Cn [r], конструирани от двойката зародиши /0, /a, се определят от отношенията
f(z), z 6 C \ r, където f(z) = fo(z) за
(Qnfo - Pn)(z) = O(zn +1), z - 0, (QX - Pn)(z) = O(1), z-да,
Qn ~ 0. Полиномите Pn и Qn не са еднозначно дефинирани, но рационалната функция Pn/Qn е уникална (до стандартната идентификация на рационални функции) и се нарича двуточков апроксимант на Паде на двойка зародиши <0,f (виж [1, 4]).
Сега формулираме теоремата на Буслаев за двуточков AP. За произволен полином Q 6 C[z], ние означаваме мярката, която брои своите нули с (Q) = ^ .
Теорема на Буслаев (виж [4]). Нека f0 6 6 W(0), f 6 W(da) са зародиши (при 0 и при da) на две многозначни аналитични функции с краен брой
точки на разклонение в C. Тогава съществува уникално компактно множество Γ = Γ(/0, fj ^ 0, да, състоящо се от краен брой аналитични дъги, така че:
1) неговият комплемент C \ r е или две области D0 e 0 и Dx e da, или една област D e 0, да (в този случай поставяме D0 = Drrj = D);
2) f0 се простира до еднозначна холоморфна функция в D0, f до еднозначна холоморфна функция в Dx;
3) за нормализирани мерки за броене vn =
= 1 (Pn), n = 1 (Qn) двуточкови полиноми n n
Паде Pn и Qn имаме: vn, n - A, n - да, където A = Ar е (уникалната) равновесна мярка за компакта Γ в
поле 9(z) := 1 lnz\ , т.е. носителят на A съвпада с Γ и - Jin z - tdA(t) + I ln z\ = const, z 6 Γ;
⩽ e B0 и /(z) = /x(1) за z e Bw, а конвергенцията се разбира като конвергенция в капацитета на компактни подмножества в B0 и съответно в.
По силата на теоремата на Буслаев (точка 2), можем да дефинираме остатъчната функция за две точки
K(r) := (OpG - Pn)(r), r e C\T, (4)
където /(¿) = /)(r)за r e B u/(¿) = /M) за r e Bsh.
3. ДИФЕРЕНЦИАЛНО УРАВНЕНИЕ ЗА ДВУТОЧКОВИ АП
Сега се обръщаме към изследването на двуточковите AP функции, които ни интересуват. Навсякъде по-долу поставяме o0 e W(0), ow e W(a) са два зародиша на една многозначна функция o(r) = o(r; a) (виж (1)), и двуточковите полиноми на Паде (виж (3)) и остатъчната функция (виж (4)).
Предполагаме, че следните условия на "обща позиция" за местоположението на точките a> и стойностите на индикаторите са:
wd = c^n + 1 + . C1ph 0, r - 0, VD = C2 + c + .
Теорема 1. Нека са изпълнени условията за "общо положение". Тогава полиномите Pn(r) и остатъчната функция Rn(r) са две независими решения на следното диференциално уравнение:
където Нп(1) = гР-1 + . e Pp-1, qn(z) = ^2p-3 + . д
e P2p-s, A \u003d P (r - a), B \u003d AYu' e Pp-2. 1 = 1
Полиномите Hp и qn са неизвестни допълнителни параметри на уравнение (5). Обърнете внимание, че в изхода
уравнение (5) ключова роля играе фактът, че -
4. СЛУЧАИ P = 2. СИЛНА АСИМПТОТИЧНА ФОРМУЛА
Нека p = 2, тогава u(r) = (r - a1)a(r - a2)-a. Ще приемем, че a e C\0; a1 C3>gt; 0.ngA.
Тогава в областта B0 за n ⩽ da, n e A, следните силни асимптотични формули са валидни за нормализираната остатъчна функция Hn и полинома 0n:
r (z) = (u 0 (z) (z - zn) )1/2z(n + 1)/2 x
x exp j-ny(z) + 2"(z; zn) + u(z; zn)( 1 + O(n)),
Юо ( z )1/2 ( A ( z )V( z))
където p = p(w0, ww) не зависи от n, знакът ± съответства на кой от двата листа лежи точката rn. Решението на уравнение (7) винаги съществува и е единствено, в типичния случай множеството
x exp i z) ± 2 "(z; zn) + u (z; zn) 1 + OQ-J). (единадесет)
Формула (2) е валидна равномерно върху K\ue(rn), където Kc B0 е произволен компактен набор, ue(rn), 6 > 0, е произволна 6-околност на rn. Подобна формула е валидна и в областта Bsh.
От теорема 2 следва, че в класа функции от вида (2) единствената пречка за равномерната конвергенция на Pn/On към функцията o0 в S0 и към o0 в B0 е наличието на точка rn. По този начин има формула за скоростта на сближаване на двуточкови AP.
Следствие 1. При условията на теорема 2, за произволно компактно множество K c B0 за n ⩽ da, n e A, имаме
u(r; 0 = /1(0-1(r) + /1(O^Cr), където /1, /2 са някои изрично изчислими елиптични интеграли; пътя на интегриране в (6) и (8) е избран същият.
където r ∈ K\uE(rn), u£(rn) е произволна 6-околност
gp точки; оценката Λ се извършва равномерно върху
K\ie(gp). Подобна формула има и в Bsh.
СИЛНА АСИМПТОТИКА НА ДВУТОЧКОВИ ПРИБЛИЖЕНИЯ НА ПЕЙД
1. Аптекарев А.И., Буслаев В.И., ма
За по-нататъшно четене на статията трябва да закупите пълния текст. Артикулите се изпращат във форматPDFна пощата, посочена при плащането. Времето за доставка епо-малко от 10 минути. Цената на една статия е150 рубли.