Симетрично пространство

Симетрично пространствое риманово многообразие, чиято изометрична група съдържа централни симетрии с център във всяка точка.

Съдържание

Ели Картан започва изследването на симетричните пространства. По-специално, той получава класификация през 1926 г.

евклидово пространство,
сфери,
Различни проективни пространства с естествена метрика.
Пространството на Лобачевски
Компактни полупрости групи на Лие с биинвариантна риманова метрика.
Всяка компактна повърхност от род 2 и по-горе (с постоянна метрика на кривина − 1) е локално симетрично пространство, но не и симетрично пространство.

Ако същото условие е изпълнено за локална геодезическа симетрия, тогава M се наричалокално симетрично пространство.

Едно простосвързано симетрично пространство енередуцируемо, ако не е изометрично на произведението на две или повече риманови симетрични пространства

Нередуцируема симетрия се наричаот компактен тип, ако има неотрицателна (но не идентично нулева) секционна кривина.
Нередуцируемата симетрия се наричаот некомпактен типима неположителна (но не идентично нулева) секционна кривина.

Обхватна симетрично пространство е максималното измерение на подпространство на допирателното пространство в някаква (и следователно във всяка) точка, където кривината е идентична нула.

Риманово многообразие е локално симетрично тогава и само ако неговият тензор на кривината е успореден.

Всяко просто свързано, пълно, локално симетрично пространство е симетрично.

В частностуниверсалното покритие на локално симетрично пространство е симетрично.

Групата на изометрията на симетрично пространство действа транзитивно върху него.

По-специално, всяко симетрично пространство е хомогенно пространство G / K, където G е група на Ли и K е нейната подгрупа.

Всяко простосвързано симетрично пространство е изометрично на произведение от нередуцируеми.

Рангът на симетрично пространство винаги е поне 1.

Ако рангът е 1, тогава секционната кривина е положителна или отрицателна във всички посоки на сечението и пространството е нередуцируемо.
Пространствата от евклидов тип имат ранг, равен на тяхното измерение и са изометрични на евклидово пространство от това измерение.

ОбозначениеGKРазмер Ранг Геометрично описание

AI	SU(n)(n)>	S O(n)(n)>	( n − 1 ) ( n + 2 ) / 2	n− 1	Пространството на всички реални структури върху C n ^> запазване на сложната детерминанта
AI	S U (2n) (2n)>	Sp(n)(n)>	( n − 1 ) ( 2 n + 1 )	n− 1	Пространството на кватернионните структури на C 2 n ^> с фиксирана ермитова метрика
III	S U (p + q) (p+q)>	S ( U ( p ) × U ( q ) ) (\mathrm(p)\times \mathrm(q))>	2 p q	min(p,q)	Грасманиан на комплексниp-измерни подпространства в C p + q ^>
BDI	S O (p+q)(p+q)>	S O (p) × S O (q) (p)\пъти \mathrm (q)>	p q	min(p,q)	Грасманово ориентираноp-измерно R p + q ^>
DIII	SO (2n)(2n)>	U (n) (n)>	n ( n − 1 )	[n/2]	Пространството от ортогонални комплексни структури върху R 2 n ^>
CI	S p (n) (n)>	U (n) (n)>	n ( n + 1 )	n	Пространството на сложните структури върху H n ^> скаларно произведение, което запазва
CII	S p (p + q) (p+q)>	S p ( p ) × S p ( q ) (p)\пъти \mathrm (q)>	4 p q	min(p,q)	Грасманови кватерниониp-измерни подпространства в H p + q ^>
EI	Е 6 >	S p (4) / < ± I > (4)/\>	42	6
EII	Е 6 >	S U ( 6 ) ⋅ S U ( 2 ) (6)\cdot \mathrm (2)>	40	4	Пространството на симетричните подпространства в ( C ⊗ O ) P 2 \otimes \mathbb )P^> изометричен ( C ⊗ H ) P 2 \otimes \mathbb )P^>
III	Е 6 >	S O ( 10 ) ⋅ S O ( 2 ) (10)\cdot \mathrm (2)>	32	2	Комплексна проективна равнина на Кели ( C ⊗ O ) P 2 \otimes \mathbb )P^>
EIV	Е 6 >	F4 >	26	2	Пространството на симетричните подпространства в ( C ⊗ O ) P 2 \otimes \mathbb )P^> изометричен O P 2 ^>
EV	E 7 >	S U (8) / < ± I > (8)/\>	70	7
EVI	E 7 >	S O ( 12 ) ⋅ S U ( 2 ) (12)\cdot \mathrm (2)>	64	4
EVII	E7 >	E 6 ⋅ S O ( 2 ) \cdot \mathrm (2)>	54	3	Пространството на симетричните подпространства в ( H ⊗ O ) P 2 \otimes \mathbb )P^> изоморфен ( C ⊗ O ) P 2 \otimes \mathbb )P^>
EVIII	E8 >	S p i n (16) / < ± v o l > (16)/\>	128	8
EIX	E8 >	E 7 ⋅ S U ( 2 ) \cdot \mathrm (2)>	112	4	Пространството на симетричните подпространства в ( O ⊗ O ) P 2 \otimes \mathbb )P^> изоморфен ( H ⊗ O ) P 2 \otimes \mathbb )P^>
FI	F4 >	S p ( 3 ) ⋅ S U ( 2 ) (3)\cdot \mathrm (2)>	28	4	Пространството на симетричните подпространства в O P 2 P^> изоморфен H P 2 P^>
FII	F4 >	S p i n (9) (9)>	16	1	Равнина на Cayley O P 2 P^>
Ж	G2 >	S O (4) (4)>	8	2	Пространството от подалгебри на алгебрата на Cayley O > изоморфен на кватернионната алгебра H>gt;

Дефиниране чрез групи на Лъжа

По-обща дефиниция е дадена на езика на групите на Ли. Обобщено симетрично пространство е редовно покритие на хомогенно пространство G / K, където G е група на Ли и

Тези обобщени симетрични пространства включватпсевдо-Риманови симетрични пространства, в които риманова метрика е заменена от псевдо-риманова метрика. В частност

Слабо симетрични пространства

Класификацията на слабо симетричните пространства е дадена от Akhiezer и Vinberg и се основава на класификацията на периодичните автоморфизми на сложниполупрости алгебри на Ли [1] .

Ермитови симетрични пространства

Симетрично пространство, което е допълнително снабдено с паралелна комплексна структура, зачитаща риманова метрика, се нарича ермитово симетрично пространство.