Симетрия и асиметрия
Минаха хиляди години, преди човечеството в хода на своята обществено производствена дейност да осъзнае необходимостта да изрази с определени термини двете тенденции, установени от него преди всичко в природата: наличието на строга подреденост, пропорционалност, баланс и тяхното нарушаване.
Хората отдавна обръщат внимание на правилността на формата на кристалите, геометричната строгост на структурата на пчелните пити, последователността и повторяемостта на подреждането на клони и листа на дървета, венчелистчета, цветя, семена от растения и показват тази подреденост в своите практически дейности, мислене и изкуство.
Концепцията за "симетрия" се използва в два смисъла. В един смисъл, симетричен означава нещо пропорционално; симетрията показва този начин на съгласуване на много части, с помощта на който те се комбинират в едно цяло. Второто значение на тази дума е баланс.
Гръцката дума snmmetra означава еднаквост, пропорционалност, пропорционалност, хармония.
Познавайки качественото разнообразие от проявления на реда и хармонията в природата, мислителите на античността, особено гръцките философи, стигат до извода, че е необходимо да се изрази симетрията в количествено отношение, като се използват геометрични конструкции и числа.
Симетрията на формите на природните обекти като израз на пропорционалност, пропорционалност, хармония потисна древния човек със своето съвършенство и това беше използвано от религията, различни идеи на мистицизма, които се опитаха да интерпретират наличието на симетрия в обективната реалност, за да докажат всемогъществото на боговете, уж въвеждайки ред и хармония в първоначалния хаос. И така, в учението на питагорейците симетрията, симетричните фигури и тела (кръг и топка)имаха мистично значение, бяха въплъщение на съвършенството.
Трябва да се обърне внимание и на учението на Питагор за хармонията. Известно е, че ако намалите дължината на струна или флейта наполовина, тонът ще се увеличи с една октава. Намаляването по отношение на 3:2 и 4:3 ще съответства на пети и четвърти интервали. Фактът, че най-важните хармонични интервали се получават чрез съотношенията на числата 1, 2 и 3, 4, питагорейците са използвали за своите мистични заключения, че „всичко е число“ или „всичко е подредено според числата“. Тези числа 1, 2, 3, 4 сами съставляват известната "тетрада". Една много древна поговорка гласи: „Какво е оракулът на Делфи? Тетрада! Защото това е музикалната гама на сирените. Геометричният образ на тетрадата е триъгълник от десет точки, чиято основа е 4 точки плюс 3, плюс 2, а една е в центъра.
В геометрията и механиката, където и да се занимаваме с линейни сегменти, ние също срещаме понятията мярка, сравнение и съотношение. Тези понятия са отражение на реалните отношения между обектите в обективния свят. За да изясните тази ситуация, можете да изберете която и да е трета точка C на тази линия AB. Така се прави преходът от единство към двойственост и мисълта по този начин води до концепцията за пропорцията. Трябва да се подчертае, че отношението е количествено сравнение на две хомогенни величини или число, изразяващо това сравнение. Пропорцията е резултат от съгласуване или еквивалентност на две или повече съотношения. Следователно е необходимо да има поне три стойности (в този случай права линия и два нейни сегмента), за да се определи пропорцията. Разделянето на този сегмент с права линия AB чрез избиране на третата точка C,, разположена между A и B, прави възможноизградете шест различни възможни отношения:
а: б; а: в; b:a ; b:c ; c:a ; c:b
при условие че маркирате съответната дължина на отсечките с права линия с буквите „a”, „b”,„c” и приложите произволна система от мерки към тази дължина. След като анализираме възможните случаи на разделяне на сегмента AB на две части, стигаме до извода, че сегментът може да бъде разделен на:
1) две симетрични части a=b;2) a:b = c:a
Тъй като c = a + b, тогава
((a + b)/a очевидно надвишава единица); същото важи и за a/b; така че "a" е по-високо от"b"и точка "C" е по-близо до B, отколкото до A.
Това съотношение е a:b = c:a или AC/CB = AB/AC
може да се изрази по следния начин: дължината на AB беше разделена на две неравни части по такъв начин, че по-голямата от неговите части се отнася към по-малката, тъй като дължината на целия сегмент AB се отнася до
за повечето от него:
3) a/b = b/c е еквивалентно на a/b = b/(a + b).
В този случай "b" е по-голямо от "a"; точка C е по-близо до A, отколкото до B, но връзката е същата като във втория случай,
където сегмент AC е по-дълъг от сегмент CB. Това е общото елементарно деление на отсечката AB, което е логически израз на принципа на най-малкото действие. Между точки A и B има само една точка C,, поставена по такъв начин, че дължината на отсечките AB, CB и AC съответства на принципа на най-простото деление; следователно има само един числов израз, съответстващ на отношението a/b. Същият проблем може да бъде решен чрез геометрична конструкция, известна като разделяне на права линия на две неравни части по такъв начин, че съотношението на по-малката и по-голямата част да е равно на съотношението на по-голямата част и сумата от дължините на двете части, и това съответства на формулата
койтонаречена „божествена пропорция“, „златно сечение“ и др.
Изследването на обективната реалност и задачите на практиката доведоха до появата, наред с понятието за симетрия, на понятието за асиметрия, което намери едно от първите си количествени изрази в така нареченото златно разделение или златното сечение.
Питагор изрази "златната пропорция" чрез съотношението:
където H и R са средните хармонични и аритметични стойности между стойностите A и B.
R = (A + B)/2; H = 2AB/ (A + B).
Кеплер пръв обръща внимание на значението на тази пропорция в ботаниката и я нарича sectio divina - "божествено сечение"; Леонардо да Винчи нарича тази пропорция „златно сечение“.
Нека извършим някои трансформации на горната формула. Първо, разделете на"b"двата елемента от втория член на това равенство и означете
a/b = x; тогава a/b = (a/b + 1)/(a/b),
Корените на това уравнение са
x \u003d 1 ± Ö5 / 2 \u003d 1,61803398.
Това число има най-характерните черти. Нека наречем това число F.
F \u003d (Ö5 + 1) / 2 \u003d 1,618 ...; 1 / F \u003d (Ö5 - 1) / 2 \u003d 0,618 ...;
Ф 2 \u003d - (Ö5 + 3) / 2 \u003d 2,618 ...
Оказва се, че геометричната прогресия, която се основава на Ф, има следната характеристика: всеки член на тази редица е равен на сумата от двата предходни члена. Ред 1, Ф, Ф 2, Ф 3, . Ф n е едновременно мултипликативен и адитивен, т.е. той едновременно участва в природата на геометрична прогресия и аритметична серия. Имайте предвид, че е формула.
изразява най-простото несиметрично деление на правата AB. От тази гледна точка, това отношение е "логически" инвариант , който следва от номерирането на отношенията и групите. пеано, Бертран Ръсел и Кутюр показаха, че въз основа на принципа на идентичността е възможно да се изведат от тези отношения и групи принципите на чистата математика.
Любопитно е, че още древните архитекти са използвали техниката на асиметрично разделяне. Така, например, страните на пирамидата на фараона Джосер са свързани една с друга като 2: / 5, а нейната височина е свързана с по-голямата страна като 1: 2.
Интересно е, че върху изображението на древноегипетския архитект Хисера (живял преди повече от 4,5 хиляди години ), което е оцеляло до днес, има две пръчки - очевидно стандарти за мярка. Техните дължини се отнасят като 1: 1/5, т.е. като по-малката страна на правоъгълен триъгълник към хипотенузата.
Архитектът И. Шевелев, разглеждайки пропорциите на древнобългарската архитектура (църквата Покров на Нерл и църквата Възнесение Господне в Коломенское), дава убедителни доказателства, че и българските архитекти са използвали пропорции , свързани със „златното сечение“.
Съотношението на "златното сечение" дава възможност на архитектите да намерят най-успешните, красиви, хармонични участъци от цялото и части, единството на разнообразното; в крайна сметка те използват комбинация от принципите на симетрия и асиметрия,
Ако през Ренесанса вниманието на учените и учителите на изкуството е приковано към „златното сечение“, то впоследствие то постепенно пада и едва през 1855 г. немският учен Цайзинг го въвежда отново в употреба в своя труд „Естетически изследвания“. В него той пише, че за да може цялото, разделено на две неравни части, да изглежда красиво по отношение на формата, трябва да има същото отношение между по-малката и по-голямата част, както между по-голямата част и цялото,
Прилагането на "златното сечение" е само частен случай на общия законпериодично повторение на същата пропорция в съвкупността, в детайлите на цялото,
Разглеждането на въпроса за "златното сечение" води до заключението , че тук имаме работа с математически показ (използвайки понятията за симетрия и асиметрия) на пропорционалността, съществуваща в природата.
Всичко по-горе ни позволява да твърдим, че възгледите на Питагор и неговата школа съдържат, наред с мистицизма и идеализма , някои плодотворни математически и естествени науки идеи. Впоследствие учението на питагорейците се развива във философията на най-големия представител на античния идеализъм Платон. Платон твърди, че светът се състои от правилни многоъгълници, притежаващи перфектна симетрия. Физическите тела са идеални математически единици, съставени от триъгълници подредени от демиурга.
Срещаме някои интересни съждения за симетрията и хармонията в трудовете на много философи и естествени учени (предимно Леонардо да Винчи, Лайбниц, Декарт, Спенсър, Хегел и други). До голяма степен немският учен Венцлав Бодо е прав, когато пише, че „философията, с изключение на някои твърдения, не се опитва да обясни тази интересна страна на природата. В продължение на векове те спорят за причинно-следствената връзка, детерминизма и други въпроси, без да виждат връзката си с проблемите на симетрията или не се стремят да го направят. Симетрията, очевидно, е добавена само като изкуствен лукс към един доста тесен готов свят от неща с техните свойства и взаимодействия на силите, техните движения и промени.