Символна логика, Енциклопедия по хуманитарни науки

Общоприето е, че символната логика е следващата след традиционната логика стъпка в развитието на формалната логика, прилагайки математически методи и специален апарат от символи и изследвайки мисленето с помощта на смятане. Те позволяват да се избегне двусмислената и логическа неяснота на естествения език, който се използва при описанието на правилното мислене от традиционната логика, развила се в рамките на философията (вижте Философия). Новите методи дадоха на логиката такива предимства като висока точност на формулировките, възможност за изучаване на по-сложни, от гледна точка на логическа форма, обекти. Много проблеми, изследвани в символната логика, изобщо не могат да бъдат формулирани, като се използват само традиционни методи. Използването на математически методи в логиката става възможно, когато преценките се формулират на някакъв точен (формализиран) език. Такива точни езици имат два компонента: синтаксис и семантика. Синтаксисът е набор от правила за конструиране на езикови обекти (обикновено наричани формули). Семантиката е набор от конвенции, които описват разбирането ни за формулите (или някои от тях) и ни позволяват да считаме някои формули за верни, а други не.

От друга страна, възникването и развитието на символната логика се свързва с трудовете на Х. Фреге и К. С. Пиърс. След като Фреге през 1879 г. и Пърс през 1885 г. въведоха предикати, обектни променливи и квантори в езика на алгебрата на логиката, се появи реална възможност за изграждане на система от логика под формата на логическо смятане, което беше направено от Фреге, който с право се счита за основател на символната логика в нейния съвременен смисъл. Опитвайки се да реализира идеите на Лайбниц, Фреге в своя Begriffsschrift (най-добрата книга за символната логика на 19 век) изобретявасимволична нотация за строго разсъждение. Въпреки че неговата нотация сега изобщо не се използва (например формулите са начертани като двумерно дърво), Фреге всъщност изгражда първото смятане на предикатите. Изчислението на предикатите е формална система, състояща се от две части: символен език и логика на предикатите. Освен това Фреге дава стриктна дефиниция на понятието „доказателство“ за смятането на предикатите, което е общоприето и до днес.

отрицания: ¬
съюзи: &
дизюнкции: ∨
последици: ⊃
универсални квантори: ∀
квантори на съществуване: ∃

Създаването на такъв изкуствен език и с негова помощ такива обекти като логическо смятане, строго формализиращи различни теории под формата на някакъв краен списък от аксиоми и правила за извод, означава, че в науката на 19 век е имало нужда от символна логика. Преди всичко това се дължи на нуждите на математиката, която поставя проблеми, за чието решаване средствата на традиционната логика са неподходящи. Един от тези проблеми беше недоказуемостта на петия постулат на Евклид от останалите постулати и аксиоми в неговата геометрия. Едва с развитието на символната логика се появи апарат, който позволява да се реши проблемът за независимостта на аксиомите на дадена теория с чисто логически средства.

Основният стимул за развитието на символната логика в началото на 20 век е проблемът за основите на математиката. К. Вайерщрас, Р. Дедекинд и Г. Кантор показаха, че аритметиката на целите числа може да се счита за основа на цялата класическа математика. Дедикинд и Пеано аксиоматизираха аритметиката, а Фреге определи естественото число като набор от всички множества с еднаква степен. Така цялата математика беше сведена до теорията на множествата. Въпреки това през 1902гПрез същата година математическият свят беше шокиран от простотата и дълбочината на парадокса, открит от Ръсел в първия том на Основите на аритметиката на Фреге (Grundgesetze der Arithmetik) (Основен закон V).

Отговорът на този и други парадокси на теорията на множествата беше появата на четири направления в основите на математиката:

Логицизъм (цялата математика може да бъде изведена от чиста логика, без да се използват конкретни понятия като число или множество).
Интуиционизъм (има нужда от нова логика).
Теоретико-множественият платонизъм под формата на аксиоматична теория на множествата ZF (въвеждат се ограничения за образуването на множества).
Формализъм (програмата на Гилбърт).

Както отбелязва Е. Менделсон: „Ние обаче не бихме избрали подход към проблема с парадоксите, първо трябва да изследваме езика на логиката и математиката, за да разберем какви символи могат да се използват в него, как термините, формулите, твърденията и доказателствата са съставени от тези символи, какво може и какво не може да бъде доказано въз основа на определени аксиоми и правила за извод. Това е една от задачите на математическата логика” (Менделсон Е. Въведение в математическата логика. 3-то издание. - М., 1984, с. 11).

Развитието и прилагането на мощния технически апарат на самата логика се отнася преди всичко до програмата на Гилбърт (започваща от 1904 г.), където е поставена основната задача: да се намери строга основа за математиката чрез доказване на нейната последователност, тоест доказване на факта, че никоя формула на формата А не е недоказуема в нея, заедно с формулата

А. За това беше необходимо да се разработи теория на доказателствата, след което, според Гилбърт, използвайки само крайни методи, ще бъде възможно да се докаже последователността на теорията на множествата и самата теорияреални числа и по този начин решават проблема с основите на математиката.

Въпреки това резултатът на К. Гьодел за непълнотата на аритметиката (1931) убедително показа, че програмата на Гилбърт е невъзможна. Тази теорема гласи, че ако една теория S, съдържаща аритметика, е последователна, тогава доказателството за последователността на теорията не може да бъде извършено посредством самата теория S, тоест всяко такова доказателство трябва непременно да използва идеи и методи, които са неизразими в теорията S (втората теорема за непълнотата). Пример за това е доказателството за последователността на аритметиката, предложено от G. Gentzen (1936).

Обширно поле на дейност за съвременната символна логика е теорията на рекурсията, която основно се занимава с проблема за разрешимостта: доказуема ли е формула А от определен набор от предпоставки. Тези изследвания доведоха до теории за изчислимостта, до създаването на компютърни програми за автоматично търсене на доказателства. Решението на проблема с разрешимостта послужи като основен стимул за създаването на теорията на алгоритмите. Формулирането на тезата на Чърч-Тюринг, според която концепцията за обща рекурсивна функция е усъвършенстване на интуитивната концепция за алгоритъм, беше най-важното постижение на символната логика. Едва след изясняване на концепцията за алгоритъм стана ясно, че съществуват алгоритмично неразрешими проблеми в добре познатите клонове на математиката.

И накрая, важно място в съвременната символна логика заема теорията на моделите, която изучава фундаменталните връзки между синтактичните свойства на наборите от изречения във формален език, от една страна, и семантичните свойства на техните модели, от друга; и като цяло се изучават връзките между модели и теории, както и трансформацията на моделите. Моделите често се използват като инструмент заза да покаже, че някаква формула A не може да бъде изведена от определен набор от постулати или, ако A е аксиома, тогава да покаже недоказуемостта на A от останалите аксиоми на системата, към която принадлежи A (ако е възможно). Тогава А е независима аксиома.

Съвсем очевидно е, че тези впечатляващи резултати, получени чрез символната логика, и най-вече в областта на основите на математиката, доведоха до известна хипостаза на функцията и обекта на самата тази логика. Така в предговора към "Наръчник по математическа логика" (1977) J. Barweis пише: "Математическата логика традиционно се разделя на четири раздела: теория на модела, теория на множествата, теория на рекурсията и теория на доказателството." На свой ред, в "Encyclopedia Britanica" (CD-1998), вече във връзка със символната логика, тези четири раздела се наричат "четири основни области на изследване". Би било по-точно да се говори за приложението на техническия апарат на логиката в тези области, тъй като теорията на множествата и теорията на рекурсията сами по себе си са независими математически дисциплини и не са част от символната логика. Теорията на доказателствата за някои математици-логици се превърна почти в "метаматематика" (терминът на Гилбърт), а теорията на моделите отдавна надхвърли границите на логическата семантика. Развитието на съвременната логика показва, че терминът "символна логика" е много по-широк от термина "математическа логика", където последният се разбира като изследване на тези видове разсъждения, използвани от математиците. Символизирането и представянето на различни логически теории под формата на смятане стана обичайно и затова понякога е просто невъзможно да се разделят строго съвременните логически изследвания на тези, свързани със символната логика, и тези, които не са свързани с нея.

Специално свойство на символната логика е, че тя е рефлексивна наука. Това означава, че прилага своите методи и логически средства, за да анализира и разбере собствената си структура. На първо място, това са резултатите на Гьодел (1930) относно последователността и пълнотата на чистата логика, тоест логиката на предикатите. Следователно последният, тъй като е много богат на своите изразни средства, е в основата на повечето теории. Но чрез същата логика се доказва, че всяка достатъчно богата теория, включително само аритметика или дори част от нея, е непълна, тоест има твърдение, което не може нито да бъде доказано, нито опровергано (първата теорема за непълнотата на Гьодел, 1931 г.). Освен това непълнотата на аритметиката е фундаментална, тоест такива теории не могат да бъдат допълвани, за да се докаже тяхната последователност. Резултатът от този размисъл е революционен, тъй като се поставя въпросът за самия статут на математиката: може ли тя да се основава на дълбоко скрити противоречия? Но повече от това, рефлексията на чистата логика върху себе си достигна критична точка в края на 20 век и повдигна въпроса за статута на самата логика. Факт е, че за разлика от математиката, отражението на чистата логика непрекъснато се умножава. Сега имаме континууми от различни класове некласически логики. Не може да става въпрос за единството на символната логика, някои представители на некласическите логики притежават такива удивителни и неочаквани свойства и модели. Налице е структуриране на първоначалните понятия на логиката и семантиката, а именно структурирането на самите ценности на истината и точките на корелация в семантиката на възможните светове под формата на различни алгебрични структури. Какво се приписва на изявлението? Какво е изявление? Какви са логическите операции върху тези твърдения? Товастава все по-голям проблем. Възниква въпросът за йерархията, връзките и класификацията на всички тези логики (което е невъзможно) или поне техните определени класове. Става все по-ясно, че компютрите, базирани на класическата логика, независимо колко мощна обработка имат, никога няма да се доближат до логиката на човека, който е създал тези компютри. Всички тези проблеми вече принадлежат на 21 век.