SPINOR CALCULUS - Голяма съветска енциклопедия, TSB - Енциклопедични речници
смятане, математическа теория, която изучава величини от специален вид - спинори. Когато се изучават физическите величини, те обикновено се отнасят към една или друга координатна система. В зависимост от закона за трансформация на тези величини по време на прехода от една координатна система към друга се разграничават количества от различни видове (тензори, псевдотензори). При изучаване на феномена на въртене на електрони беше установено, че има физически величини, които не принадлежат към известни преди това типове (например тези величини могат да бъдат определени само до знак, тъй като когато координатната система се завърти с 2p около някаква ос, всички компоненти на тези величини променят знака). Такива количества са разгледани още през 1913 г. от Е. Картан в неговите изследвания върху теорията на груповите представяния и преоткрити през 1929 г. от Б. Л. Уордън във връзка с изследванията в квантовата механика. Той нарече тези величини спинори.
Спинорите от първата валентност се дават от две комплексни числа (x1, x2) и за разлика например от тензорите, за които различни колекции от числа дефинират различни тензори, за спинорите се смята, че колекциите (x1, x2) и (-x1, -x2) определят един и същ спинор. Това се обяснява със закона за трансформация на спинорите по време на прехода от една координатна система към друга. При завъртане на координатната система на ъгъл q около оста с насочващи косинуси cosc1, cosc2, cosc3 компонентите на спинора се трансформират по формулите
По-специално, когато координатната система се завърти под ъгъл от 2p, което я връща в първоначалната й позиция, компонентите на спинора променят знака, което обяснява идентичността на спинорите (x1, x2) и (-x1, -x2). Пример за спинорно количество е вълновата функция на частица със спин 1/2 (например електрон).
Матрицата е в товаслучай чрез унитарна матрица.
Спинорите също включват величини, чиито компоненти са комплексно спрегнати с компонентите на спинора (x1, x2). Трансформационната матрица на тези величини има формата .
Нека Oxyz и 0'x'y'z' са две координатни системи с успоредни оси и O'x'y'z' се движи спрямо Oxyz със скорост v c thq (където c е скоростта на светлината) в посока, която образува ъгли c1, c2, c3 с координатните оси. При трансформациите на Лоренц, съответстващи на прехода от Oxyz към O'x'y'z', спинорните компоненти се трансформират по формулите
Ако разгледаме трансформациите на Лоренц за случая, когато координатните оси не са успоредни, тогава матрицата на трансформация на спинорните компоненти може да бъде всяка сложна матрица от втори ред, чиято детерминанта е равна на единица, - унимодуларна матрица.
Заедно с контравариантните компоненти x1, x2 на спинора, въведени по-горе, могат да се въведат ковариантните компоненти x1, x2 чрез настройка , където (както винаги, сумирането се извършва върху повтарящи се индекси). С други думи, x2 x1, x1 -x2. Ковариантните компоненти се трансформират от матрицата. При ротации тази матрица съвпада с матрицата s, т.е. при ротации ковариантните компоненти на спинора се трансформират като компоненти на комплексно спрегнатия спинор.
Спинорната алгебра се конструира по начин, подобен на обикновената тензорна алгебра (виж тензорно смятане). Спинор с валентност r (или спинтензор) е набор от 2 r комплексни числа, дефинирани до знак, който при преместване от една координатна система в друга се трансформира като произведение на r компоненти на спинори с първа валентност, т.е. По подобен начин се дефинират комплексно спрегнат спинор с валентност r, смесен спинор, спинор с ковариантни компоненти и т.н.. Събиране на спинори и умножение на спинор по скаларсе определят от координати. Продуктът на два спинора е спинор, чиито компоненти са произведенията по двойки на компонентите на факторите. Например от спинорите на втора и трета валентност и е възможно да се образува спинор на пета валентност. Конволюцията на спинора по отношение на индексите l1 и l2 се нарича спинор
Спинорската алгебра често използва идентичностите
Важна роля в квантовата механика играе изучаването на системи от линейни диференциални уравнения, свързващи величини от типа на спинора, които остават инвариантни при унимодулни трансформации, тъй като само такива системи от уравнения са релативистично инвариантни. Най-важните приложения на спинорния анализ са към теорията на уравненията на Максуел и Дирак. Записването на тези уравнения в спинорна форма позволява незабавно да се установи тяхната релативистична инвариантност, да се установи естеството на трансформацията на количествата, включени в тях. Алгебрата на Спинор също намира приложения в квантовата теория на химическата валентност. Теорията на спинорите в пространствата с по-висока размерност е свързана с представяне на ротационни групи на многомерни пространства. S. i. свързано и с някои въпроси на неевклидовата геометрия.
Лит .: Румер Ю. Б., Спинорен анализ, М. - Л., 1936; Картан Е., Теория на спинорите, прев. от френски, Москва, 1947 г.; Ландау Л., Лифшиц Е., Квантова механика, част 1, М. - Л., 1948 (Теоретична физика, том 5, част 1); Рашевски П. К., Риманова геометрия и тензорен анализ, 3 изд., М., 1967; негова собствена, Теория на спинорите, „Напредък в математическите науки“, 1955 г., том 10, c. 2 (64).