Съпряженият оператор и неговите свойства, Решаване на задачи по математика

Лин. операторA, действащ в унитарно U (евклидово E) пространство, се нарича самосвързан, ако

Нека е линеен оператор и .

1)Нека е произволен ONB в унитарно пространство. Линейният операторAе самосъпряжен тогава и само акоAe-е ермитова матрица.

Подобно на доказателството наСвойства 5на нормалните оператори. #

2)Всички собствени стойности на самосвързан оператор, действащ в унитарно пространство, са реални.

Нека и . Тогава , . Вземете или т.е. #

Последствие:Всички собствени стойности на ермитова матрица са реални (защото ермитовата матрица съответства на самосвързан оператор в ONB).

3)Собствените вектори на самосъгласуван оператор, съответстващ на различни собствени стойности, са ортогонални.

Следва отСвойство 4на нормалните оператори, тъй като самосвързаният оператор е частен случай на нормален оператор. #

4)Ако дадено подпространство е инвариантно спрямо самосъпряжения операторA, тогава неговото ортогонално допълнение също е инвариантно спрямо оператораA.

Това следва отСвойство 6на спрегнатите оператори и от факта, че . #

---