Степенен ред със сложни членове и техните свойства - MathHelpPlanet

Обсъждане и решаване на задачи по математика, физика, химия, икономика

Часова зона: UTC + 3 часа [DST]

Въведение в анализа

Теория на опашката (QS)

Степенен ред със сложни членове и техните свойства

Кръг на конвергенция на степенни редове

Степенен ред е функционален ред (3.1), чиито членове са образувани от степените на [math]z^n[/math] или [math](z-z_0)^n[/math] , тоест ред от формата

Серията (3.9) се нарича степенна редица на разликата [math](z-z_0)[/math] ; ред (3.10) е степенен ред [math]z[/math] . Очевидно един ред в друг може да се трансформира чрез просто заместване.

Характеристика на степенния ред, като частна форма на реда (3.1), е аналитичността на неговите членове в цялата комплексна равнина. Друга особеност е свързана с формата на неговия регион на конвергенция. В общия случай на функционална серия областта на конвергенция може да бъде набор от произволна форма (вижте примери 3.1-3.5). Това е цялата равнина, и равнината с перфорирана точка, и кръгът, и външният вид на кръга, и полуравнината, и пръстенът, и празният комплект (серията се разминава навсякъде). В случай на степенен ред, последният случай не може да съществува - редът има поне една точка на сходимост. По този начин редът (3.9) очевидно се събира в точката [math]z_0[/math] , а редът (3.10) се събира в точката [math]z=0[/math] .

В пример 3.1 беше определена областта на сходимост на степенни редове от вида (3.10). С изключение на двата тривиални случая, когато областта на сближаване е цялата равнина и само една точка, в другите два случая областта на сближаване се оказва окръжност, както при редица от вида (3.9) от пример 3.4, т. "а". Полученият резултат не е случаен. Наистина, областта на конвергенция на степенен ред е кръг. В този случай може да се разглежда областта на конвергенция, състояща се от една точкакато окръжност с радиус [math]R=0[/math] , а в случай на сближаване на редицата в цялата комплексна равнина като окръжност с радиус [math]R=\infty[/math] . Доказателството на това твърдение се получава от фундаменталната теорема на теорията на степенните редове, теоремата на Абел, която е формулирана и доказана по същия начин, както в реалната област.

Теорема на Абел за сходимостта на редица

Теорема 3.3 (теорема на Абел). Ако степенният ред (3.10) се сближава в точката [math]z_0\ne0[/math] , тогава той се сближава и то абсолютно за всяко [math]z[/math], удовлетворяващо неравенството [math]z [math]z>R[/math] се разминава, т.е. окръжността [math]z=R[/math] разделя равнината на две части: серията се събира вътре в окръжността и се разминава навън. Радиусът на тази окръжност - числото [math]R[/math] - се нарича радиус на конвергенция, окръжността е [math]z

Формула на Коши-Адамар

Радиусът на сходимост на степенен ред се определя от формулата на Коши-Адамар

Тук [math]\varlimsup\limits_\sqrt[n]=\ell[/math] е горната граница на последователността [math]a_n=\sqrt[n][/math] . Той винаги съществува (краен или безкраен) и освен това е уникален. В случай на [math]\ell=+\infty[/math] се приема [math]R=0[/math] , а в случай на [math]\ell=0[/math] се приема [math]R=\infty[/math] .

1. За серията (3.9) имаме същото твърдение: тя се събира в окръжността [math]z-z_0

Пример 3.8. Докажете, че за серията [math]\sum_^c_nz^n[/math] , където [math]c_n\ne0[/math] за всеки [math]n[/math] , радиусът на конвергенция може да се определи по формулите:

Нека намерим областта на сходимост на реда с помощта на формули (3.8):

Ако [math]\lim_\sqrt[n]=0[/math], тогава [math]f(z)

Свойства на степенните редове

1. Ако [math]R\ne0[/math] , т.е. ред (3.10) се събира в окръжността [math]z [math]\sum_^z^n,

k>0[/math] , разлот [math]\sum_^z^n[/math] в краен брой членове.

а) За серията, която имаме

Действия върху степенни редове

В допълнение към гореспоменатите свойства на диференциране и интегриране на степенни редове вътре в кръга на сходимост като равномерно сходими редове, те притежават в кръга на сходимост общите свойства на конвергентни, по-специално абсолютно сходни редове: редовете могат да се събират и умножават, т.е. разгледа сумата и произведението на сериите; може да се разгледа и тяхната връзка - разделянето на реда.

Нека разгледаме по-подробно аритметичните операции върху степенните редове. Нека [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math] са радиусите на сходимост на двете серии [math]\sum_^ a_nz^n[/math] и [math]\sum_^b_nz^n[/math] .

1. В общата област на конвергенция, т.е. в кръг [math]z

Заместване от ред до ред

4. Още едно действие - заместването на ред в ред е свързано с разгръщането в ред на сложна функция. Нека серията [math]\sum_^c_nu^n[/math] се събира в кръга [math]u

Обобщение на свойствата на степенните редове

Ние обобщаваме свойствата на степенните редове и действията върху тях под формата на твърдение.

1. Степенен ред [math]\sum_^c_nz^n[/math] се събира в окръжността [math]z

Редици със сложни членове в цели степени

Разгледайте две серии [math]\sum_^a_n(z-z_0)^n[/math] и [math]\sum_^ \frac[/math] . Първият ред е степенен ред и ако той се събира не само в една точка [math]z_0[/math] , но и не навсякъде, тогава той се събира в кръга [math]z-z_0 [math]z-z_0>\frac=R[/math] .

Ако [math]r [math]r_1>r,

R_1 [math]z>2[/math] . Окончателен отговор:

Обърнете внимание, че функцията [math]S(z)[/math] е аналитична навсякъде, с изключение на точките [math]z=2[/math] и [math]z=3[/math] , тя е сумата от тази серия само в пръстена [math]2

Обърнете внимание също, че втози сериал няма свободен термин. Поредицата [math]\sum_^ \frac+ \sum_^\frac[/math] , където свободният член е равен на 1 (за [math]n=0[/math] ), очевидно се събира в един и същ пръстен и нейната сума е равна на

Реално се различава само по стойността на свободния срок, т.е. на единица отгоре.

---