Стохастичен свят
С уважение, Степанов Сергей Сергеевич.
Съдържание
случайни събития
Стохастични уравнения
Средни стойности на стохастични процеси
Вероятности на стохастични процеси
Стохастични интеграли
Системи уравнения
Стохастична природа
Стохастично общество
Абсолютно определени събития и процеси не съществуват. Вселената ни говори на езика на теорията на вероятностите. Предполага се, че читателят е добре запознат с него, така че се припомнят само фактите, необходими за по-нататъшно изучаване на темата.
Първият раздел е уводен, той води до необходимостта от използване на стохастични диференциални уравнения при изследване на различни системи. След това се обсъжда концепцията за плътност на вероятността, която позволява да се изчислят средно наблюдаваните стойности. Гаусовата вероятност е в основата на шума, който засяга детерминистичната динамика. Стохастичната връзка между случайните променливи и, обратно, тяхната независимост са важни при откриването на модели между различни обекти и техните характеристики. Ключовият раздел на главата еМоделът на адитивно ходене. Именно обобщението на този прост модел ще ни отведе в следващата глава до стохастичните диференциални уравнения. Последният разделМартингали и безплатно сиренесъдържа редица официални определения, които могат да бъдат пропуснати, ако желаете.
Тази глава е ключова. Той въвежда основния математически обект на нашия интерес - стохастичните диференциални уравнения. Ще използваме най-неформалния, интуитивен начин, вярвайки, че получаването на конкретни практически резултати е по-важно от тяхната математическа строга обосновка.
Стохастичните уравнения садоста естествена непрекъсната във времето граница на дискретните случайни процеси, разгледани в предишната глава. Дори когато решаваме непрекъснато уравнение, ние постоянно ще се връщаме към неговия дискретен двойник, както за получаване на общи аналитични резултати, така и за числени симулации. Изключително важен резултат от главата е лемата на Ито, с помощта на която ще научим как да намираме точни решения на уравнения в някои прости, но важни за практическите приложения задачи. След това се обсъждат методите за изчисляване на автокорелационната функция на случаен процес и неговите спектрални свойства. В заключение ще засегнем темата за системите от уравнения, към която ще се върнем по-последователно в шеста глава.
Диференциалното уравнение за произволна функция x(t) е само един от възможните езици за описание на стохастичен процес. В ситуация, в която системата се развива с течение на времето, средните стойности също се променят и се подчиняват на определени диференциални уравнения. Всъщност тяхното решение е най-прекият начин за получаване на практически полезни резултати.
Започваме тази глава с извеждане на динамичното уравнение за средни стойности. Ще се използва за получаване на прост израз за плътността на вероятността в ситуация, в която системата има стационарен режим. След това анализираме подробно два стохастични проблема: уравнението на Фелер и логистичното уравнение. В заключение ще разгледаме метода за разширяване на средните стойности в степенна серия във времето и квазидетерминистичното приближение.
Друг начин за получаване на информация за поведението на стохастичен процес е решаването на уравнения за условната плътност на вероятността, на които е посветена тази глава.
С помощта на прости примери ще бъдат демонстрирани методи за решаване на такива уравнения. Тогава ниеНека разгледаме въпроса за граничните условия, които се вземат предвид по най-естествения начин с помощта на уравнението на Фокер-Планк. Ще бъде изчислено средното време за достигане на границата и ще бъде конструиран прост метод за решаване на уравнението на Фокер-Планк при наличие на гранични условия. Често записваме решенията на уравненията x(t), като използваме Гаусова случайна променлива.
Както при обикновения анализ, ако се дефинира стохастична диференциация, тогава е естествено да се въведе и стохастична интеграция. Съответната техника ще ни даде друг инструмент за получаване на отношения за понякога доста общи случайни процеси. Това е много красив раздел от стохастичната математика, който също се използва активно в образователната и научната литература.
Има две безкрайно малки промени в диференциалните уравнения, дрейф, пропорционален на dt и нестабилност на шума. Съответно са възможни два вида интеграли. В първия раздел разглеждаме стохастичните интеграли върху dt, изучаваме основните им свойства и намираме представяне на някои интеграли от гледна точка на обикновени случайни променливи. Вторият раздел се занимава с интеграла на Itô върху . Освен това ще бъдат получени условия, при които решението на стохастичното диференциално уравнение е уникално и ще бъде разгледан итеративен метод за конструиране на това решение.
Едномерните стохастични уравнения позволяват да се опишат само сравнително прости системи. Дори за обикновен физически осцилатор е необходимо да се реши система от две уравнения от първи ред. Реалността като цяло е многоизмерна. Той ни дава много примери за доста сложни, но изключително интересни случайни процеси.
Както в едномерния случай, ще започнем с дискретни процеси, чието обобщение към непрекъснатия случай ще ни доведе до система от стохастикадиференциални уравнения. Всъщност тази глава повтаря повечето от резултатите от предишни глави. За тези, които са уверени в тензорната и матричната алгебра, съответните обобщения служат само като начин за повтаряне на вече познат материал. След извеждането на основните многомерни уравнения ще бъдат разгледани решенията на някои задачи.
В тази глава са събрани някои примери за приложението на стохастичните методи към финансовите пазари и икономиката. Променливият характер на цените и икономическите показатели води до факта, че динамиката на съответните системи е по същество стохастична, а членът в уравненията на Ито играе водеща роля.
Първо, ще направим кратко отклонение във финансовите пазари и емпиричните свойства на цените на финансовите инструменти. След това разгледайте теорията за диверсификацията и бета - коефициентите. Стохастичните методи са много полезни при изучаване на сложни финансови инструменти. Пример за такъв инструмент е опция. Ще разгледаме основните му свойства и ще изведем формулата на Black-Scholes по два различни начина. След това ще бъде разгледан прост модел на еднофакторна крива на доходност.