Страница #074

Страница номер 074.

Учебник:Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас: учебник. за общо образование институции: профил. ниво / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2010. — 463 с.: ил.

OCR версия на страницата от урока (текст на страницата по-горе):

Какво не е наред с това "определение"? Основното е, че дефиницията е неформална - не е ясно какво означава "точка клони към точка" и "линия (секуща)" клони "към права линия". Въпреки това, нека опитаме на базата на интуитивна идея за допирателна като

за "граничното положение на секанса", за да се изведе уравнението на допирателната.

Ясно е, че допирателната ще минава през точката (x0; f(x0)) (всички секущи минават през тази точка).

Намерете наклона на тангентата. Нека секансът AB минава през точките A(x0; f(x0)) и B(x0 + Ax; f(x0 + Dx)). Наклонът на секанса LB, равен на тангенса на ъгъла на наклона на правата линия AB спрямо положителната посока на оста x (по-нататък просто ще казваме "тангенс на ъгъла на наклон на правата линия"), е равен на

(вижте фигура 9.10). Разумно е да се приеме, че наклонът на допирателната k (към която секущата "клони") ще бъде равен на границата на наклона на секущата (или, което е същото, тангенсът на наклона на допирателната е равен на границата на тангенса на наклона на секущата), когато Ax - > 0: , f(x0+Ax)-f(x0)

Обърнете внимание, че последната граница не е нищо друго освен производната на функцията f в точката x0, т.е. k = f'(x0).

Нека функцията / "има производна в точката x0. Допирателната към графиката на функцията f в точката x0 е права линия с наклон k \u003d f '(x0), минаваща през точката (x0; f (x0))(фиг. 9.11).

Обърнете внимание, че геометричното значение на производната следва от тази дефиниция: производната на функция в точка е наклонът 1 на допирателната към графиката на функцията, начертана в тази точка. Ако производната е положителна, тогава колкото по-голяма е тя, толкова „по-бързо“ расте функцията в дадена точка, толкова по-голям е наклонът на допирателната и толкова „по-стръмна“ е самата допирателна.

1 Припомнете си, че наклонът на права линия е равен на тангенса на ъгъла, образуван от тази права линия и положителната посока на оста Ox.