Свойства, релации и предикати
Свойствата на нещата в реалния свят са резултат от тяхното взаимодействие с други неща, защото без това те не биха могли да се проявят и ние не бихме могли да ги съдим. Всъщност казваме например, че диамантът е най-твърдият минерал, а графитът е мек, защото се различават по своята твърдост и пластичност.
В традиционната логика дадено свойство се показва в преценкачрез предикат,и нещото, към което принадлежи това свойство, ечрез субект.Въпреки това, трябва да се прави разлика между субект и предикат в граматиката и логиката, точно както правим разлика между изречение и съждение (изявление). , и техните свойства и характеристики, от друга страна. Именно тези връзки са станали обект на изследване на традиционната логика. Въпреки че често се срещат различни видове отношения като "повече", "по-малко", "по-високо", "по-ниско", "по-нататък", "по-близо" и т.н., да не говорим за родствените отношения, но традиционната логика или изобщо не се интересува от логическия анализ на отношенията, или се опитва да ги сведе до субектно-предикатна структура.
Математиците са първите, които изучават логиката на отношенията, а английският математик и логик О. де Морган се счита за неин основател. Интересът към тази логика от страна на математиците съвсем не е случаен, тъй като именно в тази наука се срещат голямо разнообразие от отношения (равенства, неравенства, прилики, между, включвания, конгруентност, паралелизъм и др.). Такива отношения са представени при формулирането на аксиомите на различни математически дисциплини и следователно, за да се докажат теореми, точни дефиниции на тезилогически операции, които могат да се извършват върху релации.
От логическа гледна точка отношенията могат да се разглеждат като обобщение на обичайния предикат на традиционната логика, изразяващ свойствата на обектите. Ако този предикат характеризира един обект или, както ще кажем по-нататък, обект, тогава в логиката на отношенията той определя връзка между различни обекти. Така че, когато кажем, че числото 5 е по-голямо от 3, ние по този начин установяваме връзка между тях "по-голяма" по величина.
Връзката между два обекта се наричадвоична,(двоична), между три -троичнаи т.н. Обектите, които запълват тези места, характеризират съответния предикат.
Символично изглежда така:
R (x 1, x 2. x n),
къдетоPобозначава предиката, a x 1 , x 2 . х n – съответните обекти. Акоn= 0, тогава предикатът ще бъде неразделено твърдение, което беше разгледано в предишната глава, приn= 1 предикатът представлява свойство, приn= 2 - двоично отношение, приn =3 - троично отношение и т.н.
От логико-математическа гледна точка предикатът може да се разглежда катопропозиционалнафункция. За разлика от математическите функции, където числата и други математически обекти служат като аргументи, в пропозиционалната функция само предложенията са аргументи. Ако такъв предикат изразява свойство, например „да бъдеш студент“, тогава замествайки имената на различни лица вместо аргументаx, ще получим различни твърдения, верни и неверни, т.е. ако Иванов наистина е студент, то той ще отговаря на функциятаP(x),къдетоPобозначава свойството „да бъде студент“. По същия начин, акоЧ(х)обозначава свойството "да бъде четно число", то числото 4удовлетворява тази функция, но числото 5 не. Обърнете внимание, че в този случай твърденията за числа служат като аргументи вместо обикновени числа.
ПредикатътP(x,y)е пропозиционална функция на два аргумента и изразява бинарна връзка между два обекта, например „Москва е на юг от Санкт Петербург“. В този случай предикатътPобозначава отношението "да бъдеш на юг". Ако вместо "Москва" вземем "Мурманск", тогава получаваме невярно твърдение. От това става ясно, че предикатът или пропозиционалната функция сама по себе си не е пропозиция и следователно не може да се счита нито за истина, нито за невярна. Те стават верни или неверни твърдения, след като техните аргументи бъдат заменени с конкретни твърдения. Такъв функционален подход към предикатите позволява да се третират като специални типове функции, чиито аргументи не са математически, а логически обекти, а именно твърдения.
Има два фундаментално различни начина за уточняване на вселената на разсъжденията, първият от които се състои в систематично изброяване на всички онези обекти, които съставят класа от обекти, характеризиран с дадено свойство или отношение. Очевидно такава вселена трябва да бъде ограничено множество. В научното познание обаче трябва да се работи не само с крайни, но и с безкрайни набори от обекти. Например, в математиката вече естествена серия от числа е безкраен набор, тъй като едно може да се добави към произволно голямо естествено число и по този начин да продължи този процес за неопределено време. Когато се формулират научните закони, също често е необходимо да се позовава на безкраен брой обекти. Например законът на Нютон за всемирното привличане гласи, че всеки две тела се привличат едно към друго.приятел с гравитационна сила, право пропорционална на произведението на техните маси и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях. Предполага се, че броят на такива тела във Вселената е безкраен. Очевидно е, че тъй като едно безкрайно множество не може да бъде дефинирано чрез краен списък от неговите елементи, за това трябва да се обърнем към някакво общо правило или закон за формирането на неговите елементи. Например, знаейки, че четните числа се делят на 2, винаги можете да определите дали въпросното число е четно или нечетно.
Въпреки че по принцип, ако едно свойство или връзка е формулирано ясно и достатъчно ясно, е възможно да се установи вселената, но на практика може да бъде трудно да се направи това поради несигурността на критериите за разграничаване на набори от обекти. Понякога, например, не е лесно да се отговори на въпроса дали даден обект принадлежи към набор от растения или животни, метали или металоиди, стабилни или нестабилни системи, когато става въпрос за преходни, междинни явления.
Но в повечето случаи, като се има предвид предикат, изразяващ свойство или отношение, винаги може да се установи неговата вселена или, както математиците предпочитат да казват, диапазонът от променливи на пропозиционална функция, който се наричафункционален домейн.Ако този домейн не е точно установен, тогава пропозиционалната функция, когато замества аргументите на конкретни обекти, се превръща в безсмислена фраза, а не в смислено твърдение - вярно или невярно. Често се случва дадена функция да се окаже недефинирана в някакъв диапазон от стойности. Например в математиката се казва, че уравнениетоx 2 +1=0 не е дефинирано в областта на реалните числа, защото има въображаем корен. За да се гарантира точността на разсъжденията, в математикатаи логиката ясно и недвусмислено дефинират предметната област, към която принадлежат променливите на пропозиционалните функции или предикатите.
В най-простото предикатно смятане, което също се наричатясноилипървостепенно предикатно смятане,индивиди или обекти ще се считат за стойност на променливи. Но също така е възможно да се вземат предикати, свързани с квантори като стойности на променливи. Такова смятане се наричапредикатно смятане от второ ниво.Допълнителни обобщения водят до предикатно смятане от по-високо ниво.
Точно както в пропозиционалното смятане, ще приемем, че предложениетоP(x, y),, получено за всяка двойка стойности от нейния диапазон от стойности, може да бъде вярно или невярно. С други думи, в смятането на предикатите, както и в смятането на изказванията, важи законът за изключената среда. Но в същото време, както ще видим по-късно, самата процедура за получаване на стойността на истината на сложно твърдение, състоящо се от елементарни твърдения, става много по-сложна: в крайна сметка в този случай е необходимо да се съпостави с него не един, а двойка, тройка или като цялоn-обекти от диапазона от стойности на променливи.