Тест за множител на Лагранж
Множител на Лагранж(англ. Lagrange multiplier test, Score test ) е статистически тест, използван за тестване на ограничения върху параметрите на статистически модели, оценени от извадкови данни. Това е един от трите основни теста за ограничения заедно с теста за съотношението на вероятността и теста на Валд. Тестът е асимптотичен, т.е. необходим е достатъчно голям размер на извадката за надеждността на заключенията.
Съдържание
Нека има иконометричен модел с параметър вектор b. Необходимо е да се тества хипотезата H 0 : g ( b ) = 0, като се използват примерни данни:
g(b)=0> , където g е набор (вектор) от някои функции на параметри. Идеята на теста се основава на прилагането на добре познатия метод на множителите на Лагранж за оценка на параметрите на ограничен (къс) модел, базиран на модел без ограничения (дълъг модел). Нека логаритмичната вероятност за дългия модел е l (b). За оценка на краткия модел е необходимо да се конструира функцията на Лагранж
Тогава максималните условия ще изглеждат така:
Тестът се основава на факта, че ако ограниченията са изпълнени, тогава множителите на Лагранж трябва да са равни на нула. Тъй като оценените стойности ще бъдат използвани вместо истинските стойности на параметрите, множителите на Лагранж трябва просто да бъдат възможно най-близо до нула, а именно може да се покаже, че оценките на множителите на Лагранж имат нормално разпределение с нулево математическо очакване и ковариационна матрица ( G V b ^ G T ) − 1 >G^)^> , в зависимост от ковариационната матрица на оценките на параметрите за дългия модел. След това тестовата статистика
ще има разпределение Хи-квадрат с q степени на свобода, където q е броят на ограниченията.
Когато се тестват линейни ограничения за линеен регресионен модел, LM статистиката ще бъде равна на
Може да се покаже, че за класически линеен модел LM-статистиката е
По-специално, когато се тества значимостта на регресията като цяло (тоест, когато се тества хипотезата, че всички коефициенти на фактори, различни от константа, са равни на нула), E S S S = T S S =TSS> - общата сума на квадратите (дисперсията на зависимата променлива, умножена по n). следователно
L M = T S S − E S S T S S / n = n ( 1 − E S S / T S S ) = n R 2>=n(1-ESS/TSS)=nR^> ,
Вместо теста LM, можете да използвате асимптотичния F тест, чиято статистика е свързана със статистиката на LM, както следва:
където k е броят на параметрите на модела.
В много случаи, върху малки проби, такъв тест е дори по-предпочитан от оригиналния LM тест.