Уравнението на Колмогоров за вероятностите на състоянието
Уравнението на Колмогоров за вероятностите на състояниетоРедактиране
Уравнения на Колмогоров - уравнения за преходната функция на марковски случаен процес.
Изчерпателна количествена характеристика на процеса на Марков е наборът от вероятности на състоянието, т.е. вероятности pi ( t ), че в момент t процесът ще бъде в състояние si ( i =1… n ) .
Графика на състоянието на модела на раждане и смърт
Нека разгледаме как се определят вероятностите на състоянията според показаното на фиг. графика на състоянието, като се счита, че всички потоци са най-простите. В случаен момент t системата може да бъде в едно от състоянията si с вероятност pi (t). Нека дадем на t малко увеличение ∆ t и да намерим, например, p 2 ( t + ∆ t ) - вероятността в момента t + ∆ t системата да бъде в състояние s 2 . Това може да се случи, първо, ако системата е била в състояние s 2 в момента и не го е напуснала през времето t; второ, ако в момента t системата е била в състояние s 1 или s 5 и през времето ∆ t е преминала в състояние s 2 .
В първия случай вероятността p 2 ( t ) трябва да се умножи по вероятността системата да не премине в състояние s1, s3 или s4 за времето ∆ t. Общият поток от събития, който извежда системата от състояние s2, има интензитет λ21+ λ23+ λ24. Следователно вероятността за времето ∆ t системата да напусне състоянието s 2 е равна на (λ21+ λ23+ λ24)∆ t . Следователно вероятността за първата опция p 2.1 ( t +∆ t )= p 2 ( t )[1-(λ21+ λ23+ λ24)∆ t ] .
Нека намерим вероятността за преминаване към състояние s 2 . Ако в момент t системата е била в състояние s 1 с вероятност pi ( t ), тогава вероятността за преминаване в състояние s 1 за време ∆ t е равна на p 2.2 ( t + ∆ t )= p 1 ( t )λ12 ∆ t .
По същия начин зазаявява s 5 . p 2.3 ( t +∆ t )= p 1 ( t )λ52∆ t .
Като добавим вероятностите p 2.1 ( t + ∆ t ) + p 2.2 ( t + ∆ t ) + p 2.2 ( t + ∆ t ), получаваме.
Отворете квадратните скоби, преместете p 2 ( t ) наляво и разделете двете страни на ∆ t :
Ако склоним ∆ t към нула, тогава отляво получаваме производната на функцията p 2 ( t ) :
Подобни уравнения могат да бъдат изведени за всички други състояния. Получава се система от диференциални уравнения:
Тази система от линейни диференциални уравнения прави възможно намирането на вероятностите за състояния, ако посочите началните условия. От лявата страна на всяко уравнение е производната на вероятността за i-то състояние, а отдясно - сумата от произведенията на вероятностите на всички състояния, от които стрелките водят до това състояние, по интензитета на съответните потоци събития, минус общата интензивност на всички потоци, които извеждат системата от това състояние, умножена по вероятността за i-тото състояние.
Нека представим уравненията на Колмогоров в общ вид
Тук се взема предвид, че за състояния, които нямат директни преходи, можем да разгледаме .
Вероятности за крайно състояниеРедактиране
Ако процесът в системата продължава достатъчно дълго, тогава има смисъл да се говори за ограничаващо поведение на вероятностите Pi(t) като t -> безкрайност. В някои случаи имакрайни (ограничаващи) вероятности за състояния:
независимо от състоянието, в което системата е била в началния момент. Твърди се, че в системата се установява граничният стационарен режим, при който тя преминава от състояние в състояние, но вероятностите на състоянията Pi вече не се променят във времето. Система, за която има крайни състояния, се нарича ергодична, а съответният случаен процес се нарича ергодичен.
Крайните вероятности на системата могат да бъдат получени чрез решаване на система от линейни алгебрични уравнения, които се получават от диференциалните уравнения на Колмогоров, ако приравним производните към нула и вероятностните функции на състоянията P0(t), P1(t). Pn(t) в десните части на уравненията на Колмогоров се заменят с неизвестни крайни вероятности P0, P1, P2. Пн.
Така за система с n + 1 състояния се получава система от n + 1 линейни хомогенни алгебрични уравнения с n + 1 неизвестни P0, P1, P2. Pn, което може да се намери с точност до постоянен фактор. За да се намерят точните им стойности, условието за нормализиране P0 + P1 + се добавя към уравненията. Pn = 1, използвайки който можете да изразите всяка от вероятностите по отношение на други и да отхвърлите едно от уравненията.