Височина - Примат
Задача от списание "Квант" (2000 г., 2-ри брой)
Задачата
В триъгълника, пресичащи се в точка, са начертани височини и (фиг. 1). Правата пресича продължението на страната в точката .
Докажете, че медианата на триъгълника е перпендикулярна на правата.
Нека докажем, че правата е перпендикулярна на (фиг. 1). Оттук директно ще следва постановката на задачата, тъй като в този случай тя ще се окаже ортоцентърът на триъгълника (фиг. 2).
Нека основата на перпендикуляра, пуснат от точка на права, е точка (фиг. 3).
Тъй като точките и лежат на окръжност с диаметър , ъгълът е равен на ъгъла . По същия начин четириъгълник е вписан в окръжност с диаметър .
Следователно ъгълът е равен на ъгъла. По този начин сумата от ъглите и е , т.е. вписан четириъгълник.
Така че ъгълът е равен на ъгъла. Но ъгълът е равен на ъгъла поради факта, че точките , , и , както вече отбелязахме, лежат на една и съща окръжност с диаметър . Следователно ъглите и са равни. Тези. точката лежи върху описаната окръжност на триъгълника.
Остава ни много малко. Нека продължим правата, докато се пресече с описаната окръжност на триъгълника в точка (фиг. 4).
Тъй като ъгълът е прав ъгъл, тогава е диаметърът на тази окръжност. И така, ъгли и прави линии. Следователно отсечката е успоредна и успоредна. Но от тук - успоредник, а правата се разполовява, което се искаше да се докаже.
Сподели връзка:
M1577. Върху височината, медианата и ъглополовящата на триъгълник
Проблем от сп. "Квант" (1997)
В триъгълник съотношението на синуса на един ъгъл към косинуса на друг е равно на тангенса на третия. Докажете, че височината, прекарана от върха на първия ъгъл, медианата, прекарана от върха на втория, и ъглополовящата на третия ъгъл се пресичат в една точка.
Нека са ъглите на триъгълник ABC, в който е AHвисочина, BK - медиана, CL - ъглополовяща. От условието
следва, че ъглите ABC и ACB са остри, тъй като >0 и триъгълникът не може да има два тъпи ъгъла. Следователно основата H на височината AH е вътрешна точка на отсечката BC. Нека намерим съотношенията, в които височината AH (отчитана от основата) е разделена на два други сегмента. Височината AH на успоредника ABCD се дели на неговия диагонал BD в съотношение:
Симетралата CL дели страната ON на триъгълника US спрямо:
Релациите (2) и (3) са равни тогава и само ако, , което е еквивалентно на условие (1).
По този начин условие (1) е еквивалентно на факта, че AH, BK, CL се пресичат в една точка.
Забележки.
- За проблемния триъгълник ако и само ако \frac" title="\angle BCA >\frac" />. Това лесно следва от (1).
- От предишната забележка веднага следва, че ако в остроъгълен триъгълник ABC ъглополовящата CL, медианата BK и височината AH се пресичат в една точка, тогава \frac" title="\angle BCA>\frac" />.
Москва: Наука, 1988; задача 135). Лесно е да се покаже, че за всеки ъгъл BAC проблемният триъгълник съществува. От това следва, че неравенството не винаги е изпълнено за тъпоъгълния триъгълник на задачата.