Висша математика (Интеграли и диференциални уравнения) - 02 семестър - За изпита-тест - Огромен архив на шпори - шпори на матан - PDF - 20a
1). Интегриране на четни и нечетни функции върху отсечка, симетрична спрямо началото.
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
= − ∫ f ( − t ) dt + ∫ f ( x ) dx
( − x ) dx + ∫ f ( x ) d
∫ ( f ( − x ) + f ( x )) dx = , защото
f ( x ) + f ( x ) =2 f ( x ), f ( x ) − четно
f x f x 0, f x нечетно
Интегриране на периодични функции върху отрязък с дължина, кратен на периода.
Две свойства на периодичните функции.
е периодична функция с период T, тогава f ( α x ) е периодична функция с
Доказателство f α x +
Следователно периодът sin 2 x е равен на π, периодът cos
е периодична функция с период T, тогава
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
Следователно интегралът на периодична функция върху сегмент с дължина, равна на периода, може да бъде изчислен върху всеки такъв сегмент, резултатът ще бъде същият.
Обърнете внимание, че ∫ sin x dx = 0,
∫ cos x dx = 0 . Затова напр.
Когато има интеграли от синуси и косинуси върху отрязък с дължина, който е кратен на периода, тогава такива интеграли не трябва да се изчисляват, те са равни на нула.
2). Нехомогенни LDU системи:
Теорема: Общото решение на нехомогенната система dx/dt = A(t)x+g(t) е сумата от общото решение на съответната хомогенна система dx/dt=A(t)x (g(t) / 0) и конкретното решение на нехомогенната система
= 1 Ck xk ( t ) , където x * (t) е конкретно решение
система dx/dt = A(t)x+g(t): x(t) = x * (t)+ ∑ k
нехомогенна система, g(t) – A(t) е квадратна матрица, наречена матрица на системата ODE.
x k (t) – FSR на съответната хомогенна система dx/dt=A(t)x; C k са някои постоянни коефициенти.
= 1 Ck xk ( t ) е решениетонехомогенна система dx/dt =
A(t)x+g(t). Ако x(t) е решение на нехомогенна система dx/dt = A(t)x+g(t), тогава според
решение на хомогенната система dx/dt=A(t)x, която може да бъде представена в
x k (t) Тази формула определя структурата на общото решение
нехомогенна система dx/dt = A(t)x+g(t) като набор от всички частни решения на тази система. Теорема (1): Разликата на всеки две решения на нехомогенна ODE система е решение на хомогенна система.