Времеви редове
Анализът на връзката на икономическите данни, представени под формата на времеви редове, е необходима част от съвременните изследвания в областта на макроикономическата динамика, икономиката на прехода, иконометрията на финансовите пазари. В края на 1980-те-началото на 1990-те. беше осъзнато, че само отчитането на времевата структура на данните за реалните икономически процеси позволява адекватното им отразяване в математически и иконометрични модели. Осъзнаването на този факт доведе както до преразглеждане на много макроикономически теории и конструкции, така и до бързо развитие на специфични методи за анализ на такива данни.
Методите за анализ на нестационарни случайни процеси, разработени за целите на икономическите изследвания, се различават значително от онези методи за работа със стационарни случайни процеси, които са намерили широко приложение в технологията и теорията на управлението. Поради сложността на изучаваните явления тези методи налагат повишени изисквания към математическата, иконометричната подготовка на студентите и към познаването на съвременните подходи в икономическата теория.
Последното обстоятелство изглежда изключително важно. В техническите приложения анализът на времеви редове се използва предимно за прогнозиране и е придружен от значителен дял от така нареченото „извличане на данни*. В съвременната икономика много по-голямо място заема оценката на динамичните модели, които отразяват краткосрочни и дългосрочни връзки между икономическите променливи.
Още в началния курс на иконометрията, когато изучаваме автокорелацията, отношенията от формата x = px ( _1 + є (. Стойностите на някои икономически
променлива зависи от собствените си стойности в предишния момент от време, от стойностите си със закъснение - изместване във времето с една стъпка назад.Включването на закъснели променливи в иконометричните връзки означава значителна промяна във "философията" на моделирането. Ако в конвенционалните иконометрични модели стойностите на една променлива зависят от едновременните стойности на други променливи, тоест от текущото състояние на икономическата система, тогава наличието на лаг променливи означава, че поведението на системата се определя не само от нейното текущо състояние, но и от траекторията, по която системата е стигнала до това състояние. От математическа гледна точка, иконометричен модел от този тип не е функция на обяснителни променливи, а функционал на траекторията (траекториите) на икономическите променливи. Следователно елементите на такива модели са траектории: набори от данни, където T е някакъв изброим или континуален набор. Моделиране на зависимости от формата y( = /(x(, є(), където x и y са
тези видове траектории, води до ситуация, при която обичайните методи на регресионен анализ не дават приемливи оценки на параметрите. Курсът "Анализ на времеви редове" е посветен на изучаването на методите за конструиране и анализ на такива зависимости.
Ние ще наричаме времеви редове като набор от наблюдения на икономическа величина в различни моменти от времето. В същото време едно наблюдение може да характеризира икономическата стойност в даден момент от времето, т.е. да бъде от вида на запаса (например цена, лихвен процент) или да характеризира период от време, тоест да бъде от типа на потока (например БВП, промишлена продукция, данъчни постъпления). Както обикновено в иконометрията, ще разглеждаме времева серия като извадка от поредица от случайни променливи Xt, където t приема цели стойности от 1 до T. Понякога ще
разгледайте интервала от време от 0 до T. Ще наречем множеството от случайни променливи дискретно произволноили стохастичен
процес. Тъй като в нашия курс всички случайни процеси ще бъдат дискретни, в бъдеще ще пропуснем тази дума.
Понякога се казва, че стохастичният процес "за всеки случай" е определена функция на времето, което ни позволява да разглеждаме процеса като случайна функция на времето X(/). За всяко фиксирано / стойността на стохастичния процес се разглежда просто като случайна променлива. Тези два еквивалентни подхода ни позволяват да разглеждаме стохастичен процес като функция на две разнородни величини, случай и момент във времето: X(u, /). Във фиксирания случай имаме някаква последователност от стойности на първата случайна променлива, втората, третата и т.н., която ще наречем реализация на случайния процес. Казва се, че наблюдаваният времеви ред е реализация на стохастичен процес или времевият ред е генериран от стохастичен процес. Често има смисъл последователността да се третира като
подпоследователност от безкрайна последователност и именно тази последователност наричаме стохастичен процес, който генерира наблюдаваните данни. Като правило, в това, което следва, освен ако не е посочено друго, в курса стохастичен процес се разбира като безкрайна последователност. Ако / протича през непрекъснат интервал от време и понякога е аналитично по-удобно да се работи с непрекъснато време, тогава X(a, /) се нарича случаен процес с непрекъснато време. Обичайно е стойностите на реализацията и стохастичния процес да се обозначават със същите букви, например Xr. Обикновено това не е така
води до недоразумения. В икономиката най-често се срещаме, разбира се, с дискретното време. Примери за времеви редове: БВП от 1921 г. до 1991 г в някоя страна, месечна инфлация, тримесечно производство,борсов индекс или цена на акциите.
Тъй като случайният дискретен процес X(a, /) е колекция от случайни променливи, неговата най-пълна статистическа характеристика е съвместната функция на разпределение или функцията на плътност на разпределението (ако плътността съществува). Когато имахме 2 случайни променливи, казахме, че такава характеристика е двумерна функция на разпределение (или плътност на разпределение). Когато се разглежда времеви ред, броят на случайните променливи е голям и може да бъде безкраен. Следователно, строго погледнато, за да зададем всички вероятностни свойства на тази конструкция, имаме нужда от набор от функции на разпределение, а именно едномерна функция на разпределение, двумерна функция на разпределение и т.н.: /1(x( );/2(x( ,x( );/3(x( ,x( ,x( );
Индексите на величините x( и x() означават, че се разглежда една случайна променлива
настъпва в момент /1, вторият – в момент /2 и т.н., като имат съвместна разпределителна функция. Ако вземем други моменти от време, тогава, най-общо казано, функцията на разпределение ще бъде различна. Такъв набор от функции на разпределение напълно характеризира случаен процес. Този набор от функции е координиран помежду си в следния смисъл. Всяка функция на разпределение с размерност n може да бъде получена от функция на разпределение с размерност n + 1. За да направите това, е необходимо да интегрирате функция с по-високо измерение върху всички стойности на една от променливите.
Струва си да помислим как ще продължим да използваме тази математическа конструкция? По отношение на изграждането на модел нашата иконометрична ситуация остава непроменена. А именно, като правило има едно единствено изпълнение на времевия ред и е ясно, че никога не може да се говори за оценка на съвкупността от всички функции на разпределение.сметка за. И второ, докато на интуитивно ниво, ако процесът се държи по такъв начин, че основните му статистически характеристики се променят с течение на времето, тогава няма да можем да кажем нищо за него от кратка част от нашите наблюдения. Или трябва да знаем нещо друго в допълнение, извън наблюденията. Ето защо, за да облекчим донякъде остротата на този проблем, ще говорим за по-тесен клас случайни процеси, които ще наричаме стационарни случайни процеси.