Възможно ли е да се изчисли площта на снежинка на Кох в категория Математически блог
Можете ли да изчислите площта на снежинка на Кох? Изчисляване? 🙂
20 отговора на Можете ли да изчислите площта на снежинка на Кох?
Сумирането на серията трябва да бъде. Нека вземем един триъгълник. Той има две деца, отдясно и отляво. триъгълниците са равностранни. Ширината на страната е три пъти по-малка от предшественика, площта е по-малка от 9 пъти.
Ще продължа това, което започнах RaBig. Площта на първия, начален триъгълник е равна на S. Нека напреднем една стъпка (направете едно картографиране). Вземете шестоъгълна звезда на Давид. Ако разделите оригиналния триъгълник на 9 малки равностранни триъгълника, се оказва, че три от тях са добавени. Тоест площта се е увеличила с 3*(S/9). В резултат площта на звездата на Давид е S+3*(S/9)=S(1+3/9). Не забравяйте, че триъгълникът имаше 3 лица. Добавихме триъгълен израстък към всяко лице и вместо едно лице станаха 4. Съответно като цяло фигурата вече има 3*4=12 лица. Добре. Площта на всеки от малките триъгълници, които добавяме в следващата стъпка, ще бъде равна на 1/9 от триъгълника в предишната стъпка. Тоест (S/9)/9. Към всяко от 12-те лица трябва да добавите такъв малък триъгълник. Тоест площта на фигурата ще се увеличи с 12 * ((S / 9) / 9). И броят на лицата ще стане 12 (в предишната стъпка)*4=48. Нека напишем израз за общата площ (в този момент започнах да се заричам да търся конвертора Latex–>gif):
Къде най-внимателните хора веднага ще познаят как ще изглежда общата формула:
И това е проста геометрична прогресия, известна на всички от ученическите дни. Няма да е трудно да я изчислите:
Тоест площта на снежинката на Кох е 8/5 от площта на оригиналния триъгълник.