Задача 6
1) Докажете, че за всякакви множестваA, B, Cе вярно равенствотоA\(BC )=(A\B) (A\C).
2) Илюстрирайте това равенство геометрично.
1) Означаваме: M = A\(BC), K= (A\B) (A\C). За да се докаже равенствотоM=Kе достатъчно да се докажат твърденията:
в) Нека всякоx A\(BС). По дефиницията на разликата на две множестваxAиx(BC).Акоxпринадлежи на поне едно от множестватаB и C,тогава, по дефиницията на обединение,xще принадлежи наBC.Следователно от факта, чеxBC,следва, чеxBиxC.Тъй катоxAиxB,след товаA\B.Тъй катоx A иxC,тогаваxA\C.
г) Нека всякоx(A\B) (A\C). По дефиниция на пресичане на множества,xA\BиxA\C. По дефиницията на разликата на множестватаxA,xB,xC.ТогаваxBC.И тъй катоxAиxBC,след товаxA\(BC) .
2) Начертайте множестватаA, BиC. Нека направим два еднакви чертежа, на единия избираме набораM,на другия набораK.
МножествотоBC.Двойното щриховане обозначава идентичносттаM =A\(BC)
Вертикалното щриховане обозначаваA\B,хоризонталнотоA\C.Двойното щриховане обозначава множествотоK= (A\B) (A\C)
Контролни въпроси
Как да запиша каквоелементaпринадлежи към множество A?Не принадлежи към множествоA?
Как можете да определите набор? Дай примери. Определете множеството от всички естествени числа, по-малки от 10, по различни начини.
Прочетете следните изречения:aA ,aA, AB, AB.
Как да проверя дали едно множество е подмножество на друго? Вярно ли е, чеAе подмножество наB,къдетоA= a/a Z, и
Какво е празното множество? Как се обозначава? Обяснете защо ?
Кое подмножество се нарича собствено? Дай примери.
Формулирайте определението за обединение, пресечна точка и разлика на две множества. Дай примери. Дайте геометрична интерпретация на диаграмите на Ойлер-Вен.
Дайте понятието универсален набор. Формулирайте определението за допълнение към множество. В множеството от всички реални числа назовете допълнението към множеството от рационални числа, множеството от цели числа.
Формулирайте следните свойства на операциите върху множества: комутативност на обединение и пресичане; асоциативност на обединение и пресичане; разпределителни свойства на операциите обединение и пресичане; свойства на добавките.
В набора от всички цели числа назовете допълнението:
а) набори от четни числа,
б) набори от нечетни числа.
Упражнения
1. Дадени са числа19;
б) цели неотрицателни числа;
в) рационални числа;
г) реални числа?
2. Покажете върху координатната права множеството точки, чиито координати са: а) по-малки от 4; б) повече от 4; в) не повече от 4; г) най-малко 4.
3.Начертайте набор X върху координатната линия, ако:
Илюстрирайте с помощта на кръгове на Ойлер твърденията от задачи 11 - 20:
11. а) някои естествени четни числа са кратни на 11; б) всички числа, които се делят на 10, се делят и на 5.
12. а) нито един успоредник не е трапец; б) всеки квадрат е правоъгълник.
13. а) всяко от числата, чийто запис завършва с цифрата 0, се дели на 5;
б) нито едно число, завършващо на 3, не се дели на 6.
14. а) всички квадрати са четириъгълници;
б) някои равнобедрени триъгълници са правоъгълни.
15. а) всички момчета от 5. „а” клас участваха в поход;
б) нито едно момче 5 "а" не е неуспешен ученик.
16. а) всички равностранни триъгълници са равнобедрени;
б) някои ромби са правоъгълници.
17. а) всеки квадрат е ромб;
б) някои трапеци са четириъгълници с прави ъгли.
18. а) всички момичета от класа сядат на първите чинове;
б) някои числа, които се делят на 3, се делят и на 9.
19. а) на първото гише не сяда момче;
б) някои числа, чийто запис завършва с числото 5, се делят на 3;
20. а) всички момчета от класа са ангажирани в кръжок по рисуване;
б) някои двуцифрени естествени числа са четни.
21. Избройте елементите на следните множества, задайте множествата, като използвате характеристичното свойство:
а)А –е множеството от естествени числа, по-малки от 7;
b) C –множеството от естествени числа, кратни на 3 и по-малки от 20;
в)С –множеството от естествени делители на числото 26;
г)D –набор от числа, чиято абсолютна стойност е равна на5.
22. Прочетете следните записи и избройте елементите на всяко от множествата:
Начертайте комплекти с помощта на кръгове на Ойлер. Определете връзките между множествата.
24. A=N,x
25. A=N, x
A=N, x
Докажете, че за всякакви множестваAиBравенството е вярно:
92. Докажете, че за всякакви множестваA, BиCе вярно равенството: