Знак на Коши, примат
Формулировка
Нека е дадена серия с неотрицателни членове:
Ако започвайки от някакво число
n_" title="\forall n>n_" class="latex" /> неравенството
е изпълнено, тогава редът се сближава. , тогава серията се разминава.
Доказателство
Нека
n_\sqrt[n]>\leq q\Leftrightarrow a_\leq q^" title="\exists n_\epsilon \mathbb:\forall n>n_\sqrt[n]>\leq q\Leftrightarrow a_\leq q^" class="latex" />. серията също е конвергентна.
Ако
n_\sqrt[n]>\geq 1\Leftrightarrow a_\geq 1" title="\exists n_\epsilon \mathbb:\forall n>n_\sqrt[n]>\geq 1\Leftrightarrow a_\geq 1" class="latex" />, което противоречи на необходимото условие за сходимост на редицата ( Следователно серията се разминава.
Понякога на практика е по-удобно да се използва следствието от тази теорема.
Следствие (критерий на Коши за сходимост на редица в пределна форма)
Формулировка
Нека е дадена серия с неотрицателни членове:
Ако има ограничение:
- Ако , тогава редът се събира.
- Ако 1" title="K>1" class="latex" />, тогава серията се разминава.
- Ако , тогава знакът не позволява да се каже нищо за сходимостта на дадения ред.
Доказателство
Позволявам . От дефиницията на границата пишем:
0 \exists N_:\forall n>N_\left \sqrt[n]>-K \right 0 \exists N_:\forall n>N_\left \sqrt[n]>-K \right . Ако , тогава
и тогава редът се сближава според теста на Коши под формата на неравенства .
Ако 1" title="K>1" class="latex" />, тогава
1" title="q=K-\varepsilon>1" class="latex" />, което означава, че серията се разминава.
Данред . Проверете серията за конвергенция.
Нека използваме критерия на Коши в пределна форма.
