08. Примери за равни множества
Горните примери и теореми показват, че далеч не е лесно да се установи еквивалентността на различни множества. В този раздел разглеждаме примери за конструиране на биекция между различни множества. Ще бъдат дадени примери за доказателства за еквикардиналността на множество множества.
Пример 1. Задайте биекция между сегмента [0, 1] и сегмента [a, c].
Решение.Лесно е да се установи, че линейното преобразуване x = (c – a)t + a на сегмента [0, 1] върху сегмента [a, c] е биективно.
Пример 2.Задайте биекция между интервал (0, 1) и интервал (–¥, +¥).
Решение.Биективността на преобразуването x= ctg(pt) на интервала (0, 1) върху интервала (–¥, +¥) се установява лесно.
Задача.Разгледайте основните елементарни функции и намерете интервалите, на които те са двустранно преобразуване.
Пример 3.Постройте биекция между сегмента [0, 1] и интервала (0, 1).
Решение.Решението на тази задача се основава на неизброимостта на разглежданите множества и теорема 4 от параграф 6. Идеята на решението е, че от интервала (0, 1) се избира някакво изброимо множество A. След това към него се добавят две точки и . Новополученото множество (нека го означим с Ì [0, 1]) също е изброимо. Следователно множествата A и B са еквивалентни и има биекция f, която преобразува B в A. Нека сега конструираме биекция на сегмента [0, 1] върху интервала (0, 1), както следва:
Пример 4.Постройте биекция между окръжност с единичен радиус и сегмента [0, 1].
Схема на решение.Лесно е да се установи биекция между точка от окръжност и ъгъл, съответстващ на тази точка. Това води до биекция на окръжността и полусегмента [0, 2p). След това по схемата от пример 3 се построява биекция на полуотсечката [0, 2p) върху отсечката [0, 1].
Пример 5.Докажетече множеството от всички окръжности в равнината, чиито радиуси са рационални числа и чиито централни координати са рационални числа, е изброимо множество.
Решение.Лесно се вижда, че всеки елемент от разглежданото множество може да бъде идентифициран с тройка числа (x, y, r), където (x, y) са координатите на центъра на окръжността, а r е нейният радиус. Това установява биекция между множеството от посочени кръгове и множеството Q´Q´Q. Но произведението на изброимите множества е изброимо (вижте проблема в параграф 6) и следователно нашето множество също е изброимо.
Пример 6.Докажете, че множеството от точки на прекъсване на монотонна функция, дефинирана върху сегмента [a, c], е крайно или изброимо.