§ 13. Хомоморфизъм
Хомоморфизъм на група G в група F е преобразуване f : G → F такова, че f(ab) = f(a) f(b) за всякакви елементи a и b от групата G (тук продуктът ab се взема в групата G и продуктът f(a) f(b) в групата F). Хомоморфизмът се различава от изоморфизма по това, че хомоморфизмът не изисква връзка едно към едно.
Пример 12. Нека G е ротационната група на куб, а Z 2 пермутационната група на два тетраедъра, вписани в него (виж стр. 39). Всяко завъртане на куба съответства на определено заместване на тетраедри; при извършване на две последователни завъртания на куба, съответните пермутации на тетраедрите се умножават. По този начин, дисплей-
Разделянето на ротационната група на куб на групата пермутации на два тетраедъра е хомоморфизъм.
132. Нека f : G → F е хомоморфизъм на група G върху група F . Ако групата G е комутативна, то F е такава. Докажи. Вярно ли е обратното?
133. Докажете, че при хомоморфизъм на група G в група F тъждеството на групата G преминава към тъждеството на групата F .
134. Докажете, че f(a −1 ) = [f(a)] −1 където f : G → F е хомоморфизъм, а от лявата страна обратното е взето в групата G,
и от дясната страна, в група F .
135. Нека f 1 : G → F и f 2 : F → H са хомоморфизми. Докажете, че f 2 f 1 : G → H е хомоморфизъм.
Важни примери за хомоморфизми се получават със следната конструкция "естествен хомоморфизъм".
Нека N е нормална подгрупа на групата G. Разгледайте следното преобразуване f на групата G върху факторгрупата G/N: свързваме всеки елемент g от групата G с класическия клас T, който съдържа елемента g.
136. Докажете, че f : G → G/N е хомоморфизъм на групата G върху групата G/N.
Отображението f се нарича естествен хомоморфизъм на групата G върху факторгрупата G/N. Ние сме го показали с всеки нормаленнякакъв хомоморфизъм е свързан с подгрупа. Нека покажем, че обратно, всеки хомоморфизъм на групата G върху групата F може да се разглежда като естествен хомоморфизъм на G върху факторгрупата G/N по отношение на подходяща нормална подгрупа.
Нека f : G → F е хомоморфизъм; тогава множеството от елементи
елементи g, така че f(g) = e F , се нарича ядро на хомоморфизма f и се означава с Ker f.
137. Докажете, че Ker f е подгрупа на G.
138. Докажете, че Ker f е нормална подгрупа на групата
Разгледайте разлагането на групата G по отношение на ядрото Ker f.
139. Докажете, че g 1 и g 2 лежат в един и същи косет тогава и само ако f(g 1 ) = f(g 2 ).
ТЕОРЕМА 3. Нека f : G → F е групов хомоморфизъм