16-18 билет
16. MCS. Определяне на скоростта на еструса на плоска фигура с помощта на MCS.
Моментният център на скоростите е точка от плоска фигура, чиято скорост в даден момент от време е равна на нула.
Ако сега във времеtвземем точкаPза полюс, тогава съгласно формулата (υM=υA+υMA), скоростта на точкаАще бъде
тъй катоυP= 0,Подобен резултат се получава за всяка друга точка от фигурата. Следователно,скоростите на точките на плоска фигура се определят в даден момент от време, сякаш движението на фигурата е въртене около моментния център на скоростите.В същото време, според отношенията (υMA=ω∙MA,υMA┴MA):
От равенствата следва, че
тези. ческоростите на точки от равнинна фигура са пропорционални на техните разстояния от mcs.
Получените резултати водят до следните заключения.
1.За да определите моментния център на скоростите, трябва само да знаете посоките на скороститеυAиυBна произволни две точки AиB на плоска фигура(или траекториите на тези точки); моментният център на скоростите се намира в точката на пресичане на перпендикулярите, издигнати от точкиA и B къмскоростите на тези точки (или към допирателните към траекториите).
2.За да определите скоростта на която и да е точка от плоска фигура, трябва да знаете абсолютната стойност и посоката на скоростта на която и да е точка A от фигурата и посоката на скоростта на другата й точка B.След това, като построите от точкитеAиBперпендикулярите къмυAиυB,, изграждаме моментния център на скороститеPи по направлениетоυAопределяме посоката на въртенефигури. След това, знаейкиvA,ще намерим по формулата скоросттаυMна всяка точкаMот равнинната фигура. Насочен векторυMперпендикулярно наPMв посоката на въртене на фигурата.
3.Ъгловата скоростотна плоска фигура е равна във всеки даден момент на отношението на скоростта на някаква точка от фигурата към нейното разстояние от моментния център на скоростите P:
Нека разгледаме някои специални случаи на определяне на моментния център на скоростите.
а) Ако плоскопаралелното движение се извършва от! търкаляне без плъзгане на едно цилиндрично тяло по повърхността на друго неподвижно тяло, тогава точкатаPна търкалящото се тяло, докосваща неподвижната повърхност, има в даден момент от време поради липсата на плъзгане скорост, равна на нула(υP=0),и следователно е моментният център на скоростите.' Пример е търкалянето на колело по релса.
б) Ако скоростите на точкитеАиВна плоската фигура са успоредни една на друга и праватаABне е перпендикулярна наυA(фиг. а), то моментният център на скоростите лежи в безкрайност и скоростите на всички точки са успоредниυA.Освен това от теоремата за проекцията на скоростта следва, чеυBcos β=υAcosα, т.е.vB=vA;подобен резултат се получава за всички други точки. Следователно, в разглеждания случай, скоростите на всички точки на фигурата в даден момент от време са равни една на друга и по модул,ипо посока, т.е. фигурата имамоментно транслационно разпределение на скоростите(такова състояние на движение на тялото се нарича ощемоментално транслационно).
в) Ако скоростите на точкитеAиBна плоската фигура са успоредни една на друга и в същото времелинияABе перпендикулярна наυA,тогава моментният център на скороститеPсе определя от конструкцията, показана на фиг.b.Справедливостта на конструкциите следва от пропорцията (υA/PA=υB/PB). В този случай, за разлика от предишните, за да намерите центъраP, освен посоките, трябва да знаете и скоростните модулиυAиυB.
г) Ако са известни векторът на скоросттаυBна някоя точкаВот фигурата и нейната ъглова скорост ω, то положението на моментния център на скороститеР,, лежащ на перпендикуляра наυB, може да се намери от равенството (ω=υB/PB), което даваBP=υB/ω.
17. Определяне на ускоренията на точки от равнинна фигура.
Нека покажем, че ускорението на всяка точкаMот равнинна фигура (както и скоростта) е сумата от ускоренията, които точката получава по време на транслационните и ротационните движения на тази фигура. Позицията на точкатаMпо отношение на оситеОхусе определя от радиус вектораr=rA+r',къдетоr'=AM.Тогава
От дясната страна на това равенство първият член е ускорениетоaAна полюсаA,, а вторият член определя ускорениетоaMA,, което точкатаMполучава, когато фигурата се върти около полюсаA. следователно
където ω и ε са ъгловата скорост и ъгловото ускорение на фигурата, а μ е ъгълът между вектораaMAи сегментаMA.
По този начин,ускорението на която и да е точка М на плоска фигура геометрично се състои от ускорението на някоя друга точка А,, взета за полюс, и ускорението, което точка М получава, когато фигурата се въртиоколо този полюс.Модулът и посоката на ускорениеаMсе намират чрез построяване на съответния успоредник.
Въпреки това, изчисляването нааМс помощта на успоредник усложнява изчислението, тъй като първо ще е необходимо да се намери стойността на ъгъла μ, а след това ъгълът между векторитеаMAиaA.Следователно, когато решавате задачи, е по-удобно да замените вектораaMAс a допирателна>AM ) и нормални(anMA)компоненти и представляват равенството (am= aA+ aMA) като
В този случай векторътаτMAе насочен перпендикулярноAMкъм въртенето, ако е ускорено, и срещу въртенето, ако е бавно; векторanMAвинаги е насочен от точкаMкъм полюсA. Числено
Ако полюсътAне се движи по права линия, тогава неговото ускорение може да бъде представено и като сбор от допирателнатаaτAи нормалнитеanAкомпоненти, тогава