§ 2. Аксиома за избор
Кантор страстно се стреми да докаже хипотезата за континуума. Ако това може да се направи, не само ще се потвърди ефективността на методите на новата теория на множествата. Това доказателство би послужило и като оправдание за една по-фундаментална теза: онази философско-научна програма, на която Кантор се смяташе за привърженик. В продължение на хилядолетия континуумът е бил разглеждан като даденост, като вид a priori неразложим. Ако беше възможно да се докаже хипотезата за континуума или в оригиналната й форма, или в по-широка, например
за някои естествениn, тогава континуумът,непрекъснатби бил идентифициран с някакво добре подредено множество, то би било, така да се каже,съставено от точки.Припомнете си, чедобре подреденото множествое подредено множество, всяко подмножество от което има най-малко елемент 1 . Кантор се нуждаеше от специална селекция от добре подредени множества, тъй като две добре подредени множества винаги могат да бъдат сравнени едно с друго: едното може да бъде картографирано върху част от другото. Това предполага сравнимостта на ординалите, съответстващи на тези множества. И от последното, съпоставимостта на кардиналите, съответстващи на ординалите, т.е. определени правомощия. Следователно, всяка мощност — и следователно също мощността на континуума иалефите— са сравними, ако наборите, съответстващи на тях, могат да бъдат напълно подредени. Но как да направите това за конкретни комплекти, най-общо казано, не е ясно. По-специално, едномерен континуум, като интервала от реални числа (0; 1), взети в техния естествен ред по големина, не е добре подреден набор. Например подмножество от числа 1 . Тогава рационалното число с това най-малко число ще бъде най-малкото в смисъла на нашето ново подреждане.
В този пример е важно, чеQеизброимомножество, т.е. може да се постави в кореспонденция едно към едно сN. По същия начин всяко изброимо множество може да бъде добре подредено. Но Кантор показа, че континуумът е неизброимо множество. Следователно бяха необходими някои други методи за подреждането му. Не всички обаче споделяха надеждата, че комплектът винаги може да бъде добре подреден. И така, през 1903 г., когато теорията на множествата вече е доста популярна, Б. Ръсел заявява: „Вярно е, че Кантор смята за закон на мисълта, че всяко определено множество може да бъде напълно подредено; обаче не виждам основание за това мнение.
В светлината на това не е трудно да се разбере какъв удар беше Кантор за доклада на Й. Кьониг, математик от Будапеща, на III Международен конгрес на математиците в Хайделберг през 1904 г. Кьониг твърди, че кардиналността на континуума не е равна на нито един алеф. И по този начин, по-специално, вярата в мълчаливо приетата предпоставка на Кантор, че всяко множество може да бъде напълно подредено, беше подкопана. И както вече казахме, съпоставимостта на ординалите и правомощията зависеше от тази предпоставка, т.е. съществуването на онази скала от „безкрайни числа“, която като че ли акумулира в себе си целия научен и философски патос на теорията на множествата.
Но още през същата 1904 г. ученикът на Кантор Е. Зермело предлага доказателство на теоремата, че всяко множество може да бъде напълно подредено. Дискусията навлезе в нова фаза. В резултат на тази дискусия беше открита слаба точка в теоремата на Зермело. Доказателството се основава на следното предложение: дадена е някаква, най-общо казано, безкрайна колекция от множества; има функция, която присвоява на всяко множество от това множество определен елемент от същото множество. Или по-просто казано в безкраен наборнабори, е възможно да се извърши процедурата за избор на един елемент във всеки от тези набори. С цялата привидна очевидност на тази позиция, не всички бяха съгласни с него. Френските математици, по-специално Е. Борел, Р. Баер, А. Лебег, се обявиха остро против него. Съмнения будят основно два момента. Първо, ако говорим за безкрайна последователност от избиращи елементи, тогава веднага възниква въпросът как да имплементирамевъв времето; ако обаче се приеме, че всички избори се извършват едновременно, тогава тук отново е необходима някаква обяснителна конструкция. Второ, изборът на един елемент от произволен набор е истински логически проблем. Ако елементите не са подредени по никакъв начин - а именно това е ситуацията в теоремата на Зермело, където подреждането все още се изгражда - тогава те са, така да се каже, неразличими и не е възможно да се отдели нито един.
Поради фундаменталното значение на това твърдение за теорията на множествата, то беше нареченоАксиоми на избора(или аксиоми на Зермело) и беше включено в седемте аксиоми на теорията на множествата, също предложени от Зермело през 1908 г. Много бързо беше открито, че аксиомата на Зермело се използва в доказателството на много твърдения както на теорията на множествата, така и на анализа. И така, най-простите теореми на теорията на множествата, например:
обединението на изброим брой от най-много изброими множества само по себе си е най-много изброимо, или:
вече изискват прилагането на аксиомата за избор. Що се отнася до математическия анализ, Ф. А. Медведев, например, посочва в класическия курс на математическия анализ от Г. М. Фихтенголтс голям брой теореми, които зависят от избраната аксиома, сред които са такива важни като:
теорема за непрекъсната функция, която приема стойности на различни знаци в краищата на интервала;
лемата на Болцано–Вайерщрас върху конвергентаподпоследователности от ограничена редица;
Теорема на Коши за крайните нараствания;
Теорема на L'Hopital за разкриване на несигурности и много други 1 .
Аксиомата на избора е формулирана доста просто и логично изглежда доста естествено и не обещаващо твърдение. Това впечатление обаче е измамно. Аксиомата на избора се използва за конструиране на такива екстравагантни примери като множеството на Витали 2, което е неизмеримо според Лебег, или парадокса на Банах-Тарски. Даваме формулировката на последното: „Използвайки аксиомата за избор, може да се раздели топката на краен брой части, които могат да бъдат пренаредени така, че да се получат две топки със същия размер като оригиналната топка“ 3 . Тоест, ние имаме като последствия от аксиомата за избор такива положения, които напълно противоречат на нашата интуиция за пространството.
В резултат, по-специално, на този вид парадокси, основани на аксиомата на Цермело, "обхватът на мненията на математиците за тази аксиома е скандално широк", както пише Ф. А. Медведев 4 . Д. Хилберт подкрепя използването на аксиомата за избор в математиката и вярва, че тя е свързана с основните логически принципи на математическото мислене. А. Поанкаре смята аксиомата за избора за едно от определящите синтетични априорни съждения, които не могат да бъдат доказани, но без които е трудно да се изгради както крайна, така и безкрайна аритметика. Б. Ръсел беше по-сдържан в оценката на аксиомата: „Възможно е да е вярно, но това не е очевидно и последствията от него са невероятни. При тези обстоятелства ми се струва правилно да се въздържа от прилагането му, с изключение на онези аргументи, които дават надежда за получаване на абсурд и по този начин дават отрицателно решение на въпроса за истинността на тази аксиома. Българският математик Н. Н. Лузин беше рязко негативен за употребатааксиоми на избора: „Да се прилага свободен избор според мен означава да се жонглира със смеси от празни думи, чийто смисъл не съответства на нито един интуитивно достъпен факт“; „Срещу него [срещу аксиомата на избора.—В.К.] е именно тази изключителна лекота на прилагането му, непосредствеността на отговорите, дадени от него, тъй като формираните с него математически същности не са силни, не притежават стабилност, притежават твърде неясни, неопределени свойства, за да послужат след това практически като опорна точка за математически разсъждения, вече насочени по класическите математически предмети. Напротив, формирането на математически предмет без аксиомата на Zermelo често представлява изключителни трудности, но такъв математически предмет, веднъж конструиран, почти винаги е от голяма стойност за по-нататъшни изследвания.
Благодарение на работата на Гьодел (1939) и Коен (1963) беше установено, че аксиомата за избор не може нито да бъде доказана, нито опровергана от системата на аксиомите на Цермело-Френкел от теорията на множествата. Така се получава ситуация, която напомня на ситуацията с петия постулат на Евклид в геометрията. И точно както за последния, независимостта на петия постулат от други аксиоми направи възможно конструирането нанеевклидовигеометрии, така че в случая с аксиомата на избора, поради нейната независимост, бяха направени опити за конструиране на не-Цермелиански (не-канториански) теории на множествата (и, на тяхна основа, цялата сграда на математиката) както без a ксиома на избор и със замяната й с друга аксиома 1 . Като пример за последното, представяме формулировката на аксиома, алтернативна на Zermel, така нареченатааксиома за детерминизъм: „Всеки набор A от безкрайни последователности от естествени числа определя следващата безкрайна игра GA на двама играчи. Играч I записва естествено числоn0, играчII отговаря, като пише естествено числоn1, след това играч I пишеn2, играч II пишеn3 и т.н. Ако получената последователностn0,n1,n2,n3. принадлежи към комплект A, тогава играч I се счита за победител, в противен случай играч II печели. Игра GA се наричадетерминистична, ако играч I или играч II има печеливша стратегия.Аксиомата на детерминизмагласи, че за всеки такъв набор от последователности A играта GA е детерминирана 2 . Оказва се, че чрез пълно подреждане на множеството от всички последователности от естествени числа е възможно да се конструира игра, която не е детерминирана. Следователно аксиомата на детерминизма противоречи на аксиомата на избора (в общ вид). Но, от друга страна, аксиомата на детерминизма предполага аксиома на избора в изброим вариант и следователно основните теореми на теорията на реалните числа не се променят. В математиката с аксиомата на детерминизма всеки набор от реални числа е измерим, според Лебег, и е или най-много изброим, или има кардиналността на континуум.
По този начин споровете около аксиомата на избора доведоха до изграждането на алтернативни канториански теории за множествата. Не е възможно да се направи избор между тях в полза на един, „по-естествен“. Както и да е,отвътрена математиката. „Разумният избор между аксиомата на избора и аксиомата на детерминизма“, пише Коноуей, „е възможен само чрез сравняване на красотата и богатството на теориите, изградени върху тези аксиоми, а също и чрез сравняване на последователността на последствията от AC [аксиома на избора. —VK] и AD [аксиоми на детерминизма. —V.K.] с развиваща се математическа интуиция” 1 .