§ 2. Развитие на логиката във връзка с проблема за обосноваване на математиката
Немският математик и логик Готлоб Фреге (1848-1925) се опитва да сведе математиката до логика. За тази цел в първата си работа по математическа логика, „Изчислението на понятията“ („Begriffsschrift“), той дефинира множеството като обхват на понятието и по този начин получава възможността да дефинира числото чрез обхвата на понятието. Той формулира тази дефиниция на числото в "Основи на аритметиката" ("Grundlagen der Arithmetik"), книга, която по това време остава незабелязана, но впоследствие получава
„Вижте:Peano G.Fonnulaire de Mathematiques. V. 5. Торино, 1895-1905.
ла широка слава. Тук Фреге определя числото, принадлежащо на едно понятие, като обхват на това понятие. Две понятия се считат за равни, ако множествата, изразяващи техните обеми, могат да бъдат поставени във взаимно съответствие едно към друго. Така например понятието „върх на триъгълник“ е еквивалентно на понятието „страна на триъгълник“ и всяка от тях има едно и също число 3, което е обемът на понятието „върх на триъгълник“.
Ако Лайбниц очерта само програма за свеждане на математиката до логиката, тогава Х. Фреге направи опит да намали доста значителна част от аритметиката до логиката, т.е. той направи известна математизация на логиката. Възприетите от него символични обозначения са много тромави и затова малко хора са прочели напълно неговите Основни закони на аритметиката. Самият Фреге обаче не разчиташе особено на това. Въпреки това работата на Фреге изигра значителна роля в историята на основаването на математиката през първата половина на 20 век. Фреге пише за тази своя работа: „В моите Основи на аритметиката (1884) се опитах да твърдя, че аритметиката е част от логиката и не трябва да заимства никакви основи на доказателство от опит или съзерцание. В тази книга (отнасяща се до„Основни закони на аритметиката -А. Г.)това трябва да се потвърди от факта, че най-простите закони на аритметиката са изведени тук само с помощта на логически средства” 2 .
Така че Фреге вярва, че е дефинирал логически числото и е изброил точно логическите правила, чрез които могат да се дефинират нови понятия и да се доказват теореми, и че по този начин той е направил аритметиката част от логиката. Фреге обаче не подозира, че изградената от него система не само не представлява логическа обосновка на смислена аритметика, но дори е противоречива. Това противоречие в системата на Фреге е открито от Бертран Ръсел.
„Вижте:Frege G.Grundgesetze der Arithmetik. V. I. Jena, 1893. V. II. 1903 г.
2 Пак там V. 1. 1893. С. 1.
завършването на работата му, че една от основите на сградата му е разклатена. Попаднах в това положение, когато получих писмо от г-н Бертран Ръсел, когато отпечатването на тази книга беше към завършване. Противоречието, което Ръсел открива в системата на Фреге, е прочутият парадокс на Ръсел относно множеството на всички нормални множества (вж. стр. 226-227 от учебника).
Фреге видя причината за своя провал в предположението, което използва, че всяко понятие има обхват в смисъл на постоянно, строго фиксирано множество, което не съдържа никаква неопределеност или неяснота. В крайна сметка именно чрез този том той дефинира основната концепция на математиката - концепцията за числото.
Ръсел дели математиката на чиста и приложна. Чистата математика, според него, е набор от формални заключения, независими от каквото и да е съдържание, тоест това е клас твърдения, които се изразяват изключително чрез променливи и само логически константи. Ръсел не само е напълно сигурен, че е успял да сведе математиката доизречения от този вид, но прави това изявление
'пак там. V. II S. 253.
2Вижте: WhiteheadA. Н.Избрани произведения по философия / / Пер. от английски. М., 1990.
3 Виж:RusselB.. and WhiteheadA.N.Principia Mathematica. Лондон, 1910-1913.
заключение за съществуването на априорно знание, смята, че "математическото знание се нуждае от предпоставки, които не биха се основавали на данните от сетивата"'.
Ръсел разграничава приложната математика от чистата математика, която се състои в прилагане на формални заключения към материални данни.
За да покаже, че чистата математика се свежда до логиката, Ръсел взема системата от аритметични аксиоми, формулирани от Пеано и се опитва да ги докаже логически, и дефинира три понятия, които Пеано не дефинира: „нула“, „число“, „следване“ от гледна точка на неговата логическа система. Ръсел също така смята, че е възможно да се изразят всички естествени числа по отношение на логиката и следователно да се сведе аритметиката до логика. И тъй като според него цялата чиста математика може да се сведе до аритметика, то и математиката може да се сведе до логика. Ръсел пише: „Логиката е станала математическа, математиката – логична. В резултат на това днес е абсолютно невъзможно да се направи граница между тях. По същество те са едно и също. Те са различни като момче и мъж; логиката е младостта на математиката, а математиката е зрелостта на логиката” 2 . Ръсел смята, че няма точка, в която би било възможно да се направи рязка граница, от едната страна на която да има логика, а от друга - математика.
Но в действителност математиката е несводима до логиката. Предметите на изучаване на тези науки са различни. По-рано посочихме характерните черти, присъщи на логиката като наука (вж. стр.141-142). Математиката има други задачи и функции.
Има две страни на великото произведение Principia Mathematica. Първото ни кара да видим в него един от основните източници на съвременната математическа логика. Всичко, свързано с тази страна на Principia Mathematica, беше доразвито в математическата логика, което направи този нов клон на науката особено важен за решаването не само на най-трудните
'Ръсел Б.Философското значение на математическата логика. // "Монист". V. XXIII. 1913. № 4. С. 489.
2Ръсел Б.Въведение в математическата философия. Лондон, 1924 г. С. 194.
проблеми на теоретичната математика и нейното обосноваване, но също така и редица проблеми на изчислителната математика и инженерството, които са много важни за практиката.
Въпреки това Г. Фреге и Б. Ръсел в своя логически анализ стигнаха до редица интересни резултати, свързани с понятията „обект“, „име“, „смисъл“, „значение“, „функция“, „връзка“ и др. Особено трябва да се подчертае значението на разработената от Ръсел теория на типовете (прости и разклонени), чиято цел е да помогне за разрешаването на парадокси в теорията на множествата. Обосновката зад разклонената теория на Ръсел е, че тя е конструктивна теория.
GodelК.Ober formal unentscheidbare Satze derPrincipia Mathematicaund verwandter Systeme // Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte der Preussische Academic der Wssenschaft. Vol. 38. Берлин, 1930 г.
Една от причините за разделянето на логиката е разликата в прилаганите в нея принципи, на които се основават изследванията. В резултат на това разделение имаме класическа логика и некласически логики. В. С. Месков подчертава следните основни принципи на класическата логика:
„1) полето на изследване е обикновено разсъждение,разсъждения в класическите науки;
2) предположението за разрешимостта на всеки проблем;
3) отвличане на вниманието от съдържанието на твърденията и от смисловите връзки между тях;
4) абстракция на двусмислието на твърденията”'. , Некласическите логики се отклоняват от тези принципи. Те включват интуиционистка логика, конструктивна логика, многозначна, модална, положителна, параконсистентна и други логики, към представянето на които се обръщаме.