2.7. кубичен сплайн

На сегмента [A,B] конструирайте функциятаSi(X), така че на всеки сегмент

[X i-1, x i] (I=1. n) функцияSi(X) беше полином от трета степен

Si(X)=ai+ bi(Xi-x)+Ci(Xi-x)2+Di(Xi-x)3

И във възлитеXiимаше първа и втора непрекъснати производни:

(X)= - bi - ci(Xi-x)-Di(Xi-x)2,

(X)=Ci+Di(Xi-X),

(A) ==0.

Използвайки условието за интерполация и непрекъснатост, имаме:

(Xi)=(Xi),

(Xi)=(Xi),

Освен това, обозначавайкиYi=f(Xi) иHi+1=xi+1-xi, получаваме, че

ai=ai+1+bi+1hi+1+Ci+1+Di+1,(2.2)

bi=bi+1+ci+1hi+1 +Di+1,(2.3)

Di+1=(I=0,1.N-1). (2,5)

Заменяме (2.5) в (2.2) и изразявамеBi+1:

Bi+1=(I=0,1,…N-1). (2.6)

Заместете (2.6) и (2.5) в (2.3) и получете система от (N-1) триточково уравнение по отношение на променливатаC:

φI= 6.

Уравнение (2.7) при гранични условия ((A) ==0) c0=0, cn=0Решено чрез метода на почистване:

Нека напишем формулата (2.8) заCi-1и да я заместим в уравнение (2.7):

αi(Pi ci + qi)+βi ci + γici+1 =φi.

Нека изразимCiот тук:

Ci=Ci+1+.

Сравнявайки с формула (2.8), изписваме формулите за коефициентите на почистванеPi+1Иqi+1:

Pi+1=,

Qi+1=(I=1,…,N-1).

За да изчислимP1, q1Нека запишем граничното условиеC0=0във формата (2.8):

От това следва, чеP1=0, q1=0.Ние дефинираме всичкиPi+1,QI+1ЗаI=1,…N-1И като знаем граничното условиеCn=0чрез (2.8) заI=N-1,…,1,намираме всичкиCi.. Тогава от формули (2.5) и (2.6) получаваме останалите коефициенти за кубичния сплайн.

---