§ 3. Кореспонденция едно към едно
Дефиниция. Преобразуванетоfна множествоXвмножествоYе такова съответствие между множестваXиY, в което всеки елементxXсъответства на един елементyY.
Определение. Ако наборът от стойности на преобразуванеfсъвпада с набора на пристигане на това преобразуване, тогаваfсе нарича преобразуване на набораXкъмнабораY. В математиката такова преобразуване се нарича сюръективно.
Определение. Ако пълният предобраз на всеки елементyYсъдържа не повече от един елемент (може да е празен), тогава такова преобразуване се нарича инжективно.
Определение. Преобразуване, което има свойствата инъективност и сюрективност, се нарича едно към едно.
С други думи: преобразуванеfна множествоXвърху множествоYсе нарича едно към едно, ако два различни елементаx1 иx2 от множествотоXсъответстват на два различни елементаy1 иy2 от множествотоY.
Пример.X– множество от върхове на триъгълникABC,Y– множество от страни на триъгълникABC.
Нека поставим в съответствие с всеки връх на триъгълника неговата страна, лежаща срещу този връх. Това преобразуване е едно към едно и всеки елемент от множествотоXима уникално изображение, а всеки елемент от множествотоYима уникално предварително изображение.
§ 4. Еквивалентни множества. Изброими и неизброими множества
Определение. Две множестваXиYса еквивалентни, ако има преобразуване едно към едно на множествотоXкъм множествотоY.(Означено:XY).
Пример. Множеството от страни на четириъгълник и множеството от неговите ъгли.
Концепцията за еквивалентност е приложима катокакто крайни, така и безкрайни множества.
Две крайни множества са еквивалентни тогава и само ако съдържат еднакъв брой елементи (еквивалентните крайни множества се наричат равни).
Нека разгледаме примери за равностепенни безкрайни множества:N– множество от естествени числа,A– множество от четни естествени числа (AN). За всяко естествено число задаваме число, което е 2 пъти по-голямо от него:
Установената кореспонденция е едно към едно, т.к всяко естествено число отговаря на едно число от множествотоYи обратно: всяко число от множествотоYотговаря на едно естествено число. Следователно множеството от естествени числа е еквивалентно на множеството от четни естествени числа.
Определение. Безкрайно множество, което е еквивалентно по мощност на множеството от естествени числа, се нарича изброимо.
Примериза изброими множества: цели числа, неотрицателни цели числа, всяко подмножество на всяко от тези множества.
Теорема(без доказателство). Наборът от реални числа между нула и едно е неизброим.
Примериза неизброими множества: множеството от всички реални числа, множеството от всички точки на правата, множеството от всички точки на равнината.
Контролни въпроси
Дефинирайте декартовото произведение на множествата.
Избройте начините за определяне на декартово произведение на множества.
Каква е връзката между множестватаX×YиY×X?
Какво се нарича съответствие между множестватаXиY?
Какъв набор се нарича зона на заминаване, зона на пристигане, зона на дефиниране и набор от стойности на съответствие?
Избройте начини за установяване на съответствия.
Койтосъответствието се нарича преобразуване на множествотоXв множествотоY; преобразуване от наборXкъм наборY?
Какъв вид кореспонденция се нарича кореспонденция едно към едно?
Какви множества се наричат еквивалентни? Кога крайните множества са еквивалентни?
Какви комплекти са изброими? Дайте примери за изброими и неизброими множества.