4. Декартови координати. Координатен метод в курса по геометрия.
Идеята за метода на координатите за първи път е систематично разработена от Пиер дьо Ферма и Рене Декарт. В техните формулировки разстоянията до координатните оси могат да бъдат само положителни числа или нула. Важна идея, че едното или и двете от тези разстояния също могат да се считат за отрицателни, принадлежи на И. Нютон. И Лайбниц е първият, който нарича тези разстояния "координати". Координатният метод направи истинска революция в геометрията и не само в нея.
Координатният метод предоставя универсален начин за свързване на геометрични обекти - фигури, линии и т.н. с определени алгебрични изрази или отношения. Иначе методът на координатите е начин за превод от геометричен език на езика на алгебрата, след което геометричните задачи се превръщат в алгебрични и получаваме възможност да използваме алгебрични методи за решаване на геометрични задачи.
В съответствие с програмата по математика за средните училища, координатите се появяват за първи път още в 5 клас при изучаване на алгебричен материал: „изображение на числа върху права линия; …………..…”. По тази програма по геометрия координатите се изучават в IX клас в края на първото тримесечие в следния том: „векторни координати; връзката между координатите на вектора и координатите на неговото начало и край; уравнението на права върху равнина, уравнението на окръжност и права линия; ".
Основната цел на изучаването на координатния метод е да запознае студентите с метод, който отсъства в класическата елементарна геометрия. Но играейки водеща роля в съвременната геометрия, покажете на учениците приложението на координатния метод за решаване на проблеми.
Учениците се запознават за първи път с концепцията за правоъгълна координатна система в курса по алгебра в 7. клас, когато започва изучаването на функция.
Помислете за пример за въвеждане на концепциятакоординатен метод по учебника на Л. С. Атанасян: въвеждането на координатна система дава възможност да се изучават геометрични форми и техните свойства с помощта на уравнения и неравенства и по този начин да се използват алгебрични методи в геометрията. Този подход за изучаване на свойствата на геометричните форми се нарича метод на координатите.
След това учениците се запознават с такива важни формули като: 1. формулата за намиране на координатите на средата на отсечката, при условие че са известни координатите на краищата на отсечката: A (x1; y1), B (x2; y2). C (x; y) - средата на AB.
разглеждат се два случая: а) когато трябва да се намери средата на отсечката C. б) когато трябва да се намери единият край на A. 2. формула за изчисляване на дължината на вектор по неговите координати. 3. формула за намиране на разстоянието между две точки с дадени координати: A (x1; y1), B (x2; y2).
частен случай на тази формула е формулата за изчисляване на дължината на вектор от неговите координати.
При изучаване на линии по координатния метод възникват два проблема: 1) намиране на нейното уравнение от геометричните свойства на дадена линия; 2) обратната задача: използване на даденото уравнение на правата за изследване на нейните геометрични свойства.
В учебника A.V. Погорелов, почти целият курс на геометрията беше представен чрез метода на координатите. Те се въвеждат и използват от 7. клас.
В учебника L.S. Атанасян е дадена специална 10-та глава, но само след темата "Вектори".
Метод за изследване на трансформацията на подобие.
Концепцията за подобие е една от най-важните в курса на планиметрията. Учениците са запознати с реални обекти, които визуално представят такива фигури (географски карти, снимки, модели на автомобили, кораби и др.).
Трансформацията на подобие се използва широко в практиката при изготвяне на чертежи на машинни части, конструкции, теренни планове и др. тези изображениярепрезентациите са подобни трансформации в естествена големина на въображаеми образи. Коефициентът на сходство се нарича мащаб.
Основната цел на изучаването на трансформацията на подобието е да се формира концепцията за подобни триъгълници, да се развие способността да се прилагат знаци за подобие на триъгълници.
А. В. Погорелов - Тема за 9 клас "Подобие на фигури" (17ч)
Л.С.Атанасян - Тема за 8 клас "Подобни триъгълници" (19ч)
И. Ф. Шаригин - Тема за 8 клас "Подобие" (20 часа)
Според A.V. Погорелов получава 17 часа, за да проучи сходството на фигурите. Изучава се в 9 клас преди изучаването на темите от областта. Сходството на фигурите е разделено на 9 теми. В края на главата се въвеждат ъглите, вписани в окръжността, и пропорционалността на отсечки от хорди и секущи окръжности. В началото се дава понятието хомотетия и подобие на фигурите. След това се разглеждат подобието на триъгълници, признаци на подобие на триъгълници, подобие на правоъгълни триъгълници.
Определение (А.В. Погорелов). Трансформацията на фигурите F се наричатрансформация на подобие, ако трансформацията на разстоянието между точките се променя еднакъв брой пъти, т.е. за всеки две точки X и Y на фигурата F и точките X’ и Y’ на фигурата F’, в които преминават, XY=kXY’.
Две фигури се наричат подобни, ако са преведени една в друга чрез трансформация на подобие.
Признаци за подобие на триъгълници. Два триъгълника са подобни, ако:
всичките им съответни ъгли са равни (достатъчно е два ъгъла да са равни);
всичките им страни са пропорционални;
две страни на единия триъгълник са пропорционални на двете страни на другия и ъглите между тези страни са равни.
Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако:
краката им са пропорционални;
катетът и хипотенузата на един триъгълник са пропорционални на катета ихипотенузата на друг;
два ъгъла на триъгълник са равни на два ъгъла на друг.
Площите на подобни фигури са пропорционални на квадратите на подобните им линии (например страни). По този начин площите на кръговете са пропорционални на съотношението на квадратите на техните диаметри (или радиуси).
Според Л.С. Атанасян в глава 7 на подобни триъгълници са дадени 19 часа. Фокусът на тази глава е върху подобни триъгълници. Изучава се в 8 клас след главите четириъгълници и площи.
Дефиницията на подобни триъгълници е дадена въз основа на теоремата за съотношението на площите на триъгълници, които имат еднакъв ъгъл; признаците на сходство на триъгълниците са много просто доказани. Те се използват широко в курса по геометрия. В допълнение, материалът, свързан със сходството, дава възможност за смислено прилагане на междудисциплинарни връзки с алгебра (пропорционалност, уравнения, квадратни корени) и физика (например геометрична оптика). В края на главата се въвеждат синус, косинус и тангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник.
Когато изучавате тази тема, трябва да се има предвид, че свойствата на такива фигури ще бъдат многократно прилагани в по-нататъшното изучаване на курса по геометрия. Ето защо трябва да се отдели значително внимание и време за решаване на проблеми, насочени към развиване на умения за доказване на сходството на триъгълници с помощта на знаци и изчисляване на елементите на подобни триъгълници.
При изучаване на признаците на подобие е достатъчно да се докажат два признака, тъй като първият се доказва въз основа на теоремата за отношението на площите на триъгълници с равни ъгли, а доказателствата на другите два са подобни. Приложението на метода за подобие на триъгълник към доказателствата на теорема се изучава от студенти, като се използва теоремата за средната линия на триъгълника като пример. С ученици, които се интересуват от математика, можете да разглеждате задачи за конструиране по метода на подобието.
След изучаване на подобни триъгълници, въпросът за сходството на произволни фигури се разглежда на интуитивна основа.
В курса по геометрия на твърдо тяло в началото на клас 11, 9, в параграфа „Трансформация на подобие” (не е задължителен елемент за изучаване на основно ниво) е дадена следната дефиниция (Л. С. Атанасян): Трансформация на подобие с коефициент >0 се наричапреобразуванена пространството върху себе си. При което произволни точки A и B отиват към такива точки A1, B1, че A1=kB1.
Две тела се наричат подобни, ако има трансформация на подобие, така че едното от тях преминава в другото.
По този начин разгледахме два начина за изследване на сходството на триъгълниците: можем да разглеждаме подобни триъгълници като специални случаи на подобни фигури (A.V. Pogorelov) или можем да определим подобни триъгълници като триъгълници, които имат съответно пропорционални страни и съответно равни ъгли (L.S. Atanasyan).