4.2. Решаване на системи от линейни уравнения.
Нека е дадена произволна система от n линейни уравнения с n неизвестни
Изчерпателен отговор на въпроса за съвместимостта на тази система дава теоремата на Кронекер-Капели.
Теорема 4.1.Системата от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само тогава, когато рангът на разширената матрица на системата е равен на ранга на основната матрица.
Приемаме го без доказателства.
Правилата за практическото търсене на всички решения на последователна система от линейни уравнения следват от следните теореми.
Теорема 4.2.Ако рангът на последователна система е равен на броя на неизвестните, тогава системата има уникално решение.
Теорема 4.3.Ако рангът на съвместима система е по-малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой решения.
Правилото за решаване на произволна система от линейни уравнения
1. Намерете ранговете на основната и разширената матрици на системата. Ако r(A)≠r(A), тогава системата е непоследователна. 2. Ако r(A)=r(A)=r, системата е последователна. Намерете някакъв основен минор от ред r (напомняне: минор, чийто ред определя ранга на матрица, се нарича основен). Вземете r уравнения, чиито коефициенти формират базисния минор (изхвърлете други уравнения). Неизвестните, чиито коефициенти са включени в основния минор, се наричат главни и остават отляво, докато останалите n-r неизвестни се наричат свободни и се прехвърлят в десните части на уравненията. 3. Намерете изрази на основните неизвестни чрез свободни. Получава се общото решение на системата. 4. Давайки произволни стойности на свободните неизвестни, получаваме съответните стойности на главните неизвестни. По този начин могат да бъдат намерени конкретни решения на оригиналната система от уравнения.
4.3 Решаване на неизродени линейни системи. Формули на Крамер
Нека е дадена система от n линейни уравнения с n неизвестни
(4.1)
или в матрична форма A*X=B.
Основната матрица A на такава система е квадратна. Детерминантата на тази матрица
се нарича детерминанта на системата. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата се нарича неизродена.
Нека намерим решението на тази система от уравнения в случай D¹0
Умножавайки двете страни на уравнението A * X \u003d B отляво по матрицата A -1, получаваме
A -1 *A*X=A -1 *B Защото. A -1 *A=E и E*X=X тогава
Намирането на решение на системата по формула (4.1) се нарича матричен метод за решаване на системата.
Записваме матрично равенство (4.1) във формата
Оттук следва, че
Но има разлагане на детерминантата
елементи от първата колона. Детерминантата D1 се получава от детерминантата D чрез заместване на първата колона от коефициенти с колона от свободни членове. Така,
По същия начин:,
където D2 се получава от D чрез заместване на втората колона от коефициенти с колона от свободни членове:.
се наричат формули на Крамер.
Така неизродена система от n линейни уравнения с n неизвестни има уникално решение, което може да бъде намерено чрез матричния метод (4.1) или чрез формулите на Крамер (4.2).
7 Въпрос Системи от линейни еднородни уравнения
Нека е дадена системата от линейни еднородни уравнения
Очевидно една хомогенна система винаги е последователна, тя има нулево (тривиално) решение x1=x2=x3=. =xn=0.
При какви условия една хомогенна система има и ненулеви решения?