5.3 Параметрични методи за проверка на хомогенността на пробата

5.3.1 Традиционен метод за тестване на хомогенността на две независими проби (t-тест на Стюдънт)

Най-разпространеният метод за проверка на хомогенността на извадките чрез предлагане и тестване на параметрични хипотези се основава на прилагането на t-критерия на Стюдънт.

Да разгледаме случая на сравняване на две независими проби.

Изложена: нулевата хипотеза за равенството на средствата и алтернативата, че средствата не са равни.

Във всяка извадка се изчисляват примерни средни аритметични и дисперсии и статистика на Стюдънтt,, въз основа на която се взема решение.

Според даденото ниво на значимост  и броя на степените на свобода(m+n-2) от таблиците за разпределение на Стюдънт се намира критичната стойностtcr. Акоt>tcr, тогава хипотезата за хомогенност (без разлика) се отхвърля, акоt2), G(x)=N(x; m2,22)

с математически очакванияm1иm2и дисперсии 1 2 и 2 2 съответно в първата и втората извадка;

б) дисперсиите на резултатите от наблюденията в първата и втората проба са еднакви:

Ако условията a) и b) са изпълнени, тогава нормалните разпределенияF(x)иG(x)се различават само в математическите очаквания и следователнои дветехипотезиH0иH'0се свеждат до хипотезата

ии дветеалтернативни хипотезиH1иH'1се свеждат до хипотезата

Ако условията a) и b) са изпълнени, тогава статистиката t, ако H "0 е вярно, има разпределение на Стюдънт с (n + m-2) степени на свобода. Само в този случай традиционният метод, описан по-горе, е оправдан безупречно. Ако поне едно от условията не е изпълнено, тогава неняма причина да се смята, че статистиката t има разпределение на Стюдънт, така че използването на традиционния метод, строго погледнато, не е оправдано.

В повечетослучаи няма a priori причина да се приеме нормалното разпределение на резултатите от икономически, технически, икономически, технически, медицински и други наблюдения.

Тестването за нормалност обаче е по-сложна и отнемаща време статистическа процедура от тестването за хомогенност, което изисква голям брой наблюдения.

Въпреки това,въпреки нарушението на условието за нормалност, традиционният метод (критерий на Стюдънт) може да се използва за проверка на хипотезата за равенството на мат. очаквания за големи размери на извадката. В този случай вместо таблиците за разпределение на Студент е достатъчно да използвате таблиците на стандартното нормално разпределениеФ(x).

Понякогаусловието за равенство на дисперсиитеследва от методологията за получаване на резултатите от наблюденията, например, когато се използва един и същ инструмент или техникаmпъти се измерват характеристиките на първия обект иnпъти - вторият, и параметрите на разпределението на грешките на измерване не се променят. Въпреки това, в повечето технически, икономически, медицински и други проблеми условието за равенство на дисперсиите не може да се счита за изпълнено и не е препоръчително да се проверява.

Въпреки това, при големи и еднакви или леко различни размери на извадката, няма нужда да се изисква условиеторавенство на дисперсии.

В такива случаи използването наt-теста позволява тестване на хипотезатаH'0за равенството на математическите очаквания, но не и хипотезатаH0, че и двете извадки са взети от една и съща обща популация. Класическите условия за приложимостта на критерия на Стюдънт в по-голямата си часттехнически, икономически, медицински и други задачи са неизпълними. Въпреки това, при големи и приблизително еднакви размери на извадката, той може да се използва. За крайни размери на извадката традиционният метод е неумолимо приблизителен.

Освен това трябва да обърнете внимание на факта, че t-тестът може да се използва само ако са изпълнени следните условия:

1. Наблюденията във всяка от разглежданите групи са взети на случаен принцип от една и съща генерална популация (например две групи студенти от една и съща година или деца на една и съща възраст и т.н.)

2. Наблюденията имат нормални разпределения или размерът на всяка извадка надвишава 30 стойности.