Абстрактна механика
Въз основа на факта, че скоростта на падащо тяло е пропорционална на времето на падане, Галилей извежда теорема: пътят, изминат по време на естествено ускорено движение, е равен на пътя, който тялото би изминало за същото време, движейки се равномерно със скорост, равна на средната стойност между началната и крайната скорост.
От тази теорема е лесно да се извлече пропорционалността на изминатото разстояние спрямо квадрата на изминалото време. Този закон е потвърден от Галилей в неговите най-известни експерименти с наклонени равнини. В дъска с дължина 12 лакътя е изсечен прав жлеб в надлъжна посока, чиято повърхност е покрита с възможно най-гладък пергамент. По този канал от различни позиции падна гладка, добре полирана топка с правилна форма от твърд бронз. В същото време времето на падане на топката беше измерено с помощта на гениално устройство: струйка вода изтичаше от кофа през тясна тръба в дъното й, събирайки се в поставена чаша. По съотношението на теглата на натрупаната вода може да се съди за съотношението на съответните времена.
Базирайки се на постулата за наклонените равнини, Галилей изгражда своята напълно нова теория за движението по наклонена равнина и движението по хордите на окръжност, използвайки геометричен метод. По-специално, той показа, че времето на движение по дъгата на окръжност, което е по-малко или равно на една четвърт от окръжността, е по-малко от времето на движение по стягащата се хорда.
"Ден четвърти" е посветен на движението на изоставени тела. Отново включвайки принципа на инерцията, Галилей излага друг основен принцип - закона за събиране на преместванията. Използвайки тези два принципа, той показва, че невертикалната траектория на хвърлено тяло е парабола. Този резултат беше напълно непознат за всичките му предшественици. От това той извлича редица другитеореми, по-специално, доказва, че обхватът на полета е еднакъв за ъгли 45° + a и 45° - a.
Хронологичният метод на представяне на трудовете на Галилей, който е използван досега, позволи да се докоснем до някои от големия брой фундаментални открития на Галилей. Но основната му заслуга трябва да се търси не толкова в неговите открития, колкото в новия начин на мислене, който Галилей въвежда в изучаването на природата. Когато се казва, че Галилей е основател на експерименталния метод, не трябва да се разбира, че ние дължим въвеждането на експеримента като средство за изследване, тъй като използването на експеримента не е спряло от древността до неговите дни. Но почти винаги ставаше въпрос за груби експерименти, които се равняваха на чист емпиризъм. Галилей пък интерпретира явлението, опитвайки се да го изчисти от всички смущаващи причини, ръководейки се от една философска концепция, която всеки физик следва от онова време до наши дни, може би понякога несъзнателно: книгата на природата „... е написана на езика на математиката, нейните букви са триъгълници, кръгове и други геометрични фигури, без които човек не може да разбере нейната реч; без тях - ва в лутане в тъмен лабиринт."
По този начин задачата на физика е да измисли експеримент, да го повтори няколко пъти, като елиминира или намали влиянието на смущаващите фактори, да улови в неточни експериментални данни математическите закони, които свързват количествата, които характеризират явлението, да предостави нови експерименти, за да потвърди - в границите на експерименталните възможности - формулираните закони и след като намери потвърждение, отиде по-нататък с помощта на дедуктивния метод и намери ново следствие s от тези закони, които от своя страна подлежат на проверка. За разлика от Франсис Бейкън (1561-1626), който развива своя експериментален метод чисто теоретично,което между другото нито един физик не е следвал, Галилей никъде не дава абстрактно изложение на експерименталния метод. Целият този подход е даден в конкретно приложение за изследване на конкретни природни явления.
Човек като Галилей, воден от толкова разнообразни мотиви, толкова свободен от бремето на традицията, не може да бъде принуден към някаква твърда схема. Но въпреки това в много от изследванията на Галилей може би могат да се откроят четири точки. Първата фаза е възприемането на явление, сетивно преживяване, както каза Галилей, насочвайки вниманието ни към изучаването на определена група явления, но все още не дава законите на природата. Методът на Галилей очевидно е бил чужд на гледната точка, че нашият ум послушно получава научни знания от външния свят, тоест, че опитът е всичко и всичко се съдържа в него. След сетивния експеримент Галилей преминава, както той каза, към аксиомата, тоест, според съвременната терминология, към работната хипотеза. Това е централният момент на откритието, произтичащ от внимателно критично изследване на сетивния опит чрез творчески процес, подобен на интуицията на художник. Това е последвано от третата фаза, която Галилей нарича математическо развитие, т.е. намиране на логически следствия от приетата работна хипотеза. Но защо математическите следствия трябва да съответстват на данните от усещанията?
„Защото нашите разсъждения трябва да са за разумния свят, а не за света на хартията.“
Така стигнахме до четвъртия елемент от Галилеевия експеримент - експерименталната проверка като най-висш критерий на целия път на откритието. Сетивно преживяване, работна хипотеза, математическа разработка и експериментална проверка - това са четирите фази на изследването на природните явления, което започва с опита и се връща към него, но не може да бъде развито без прибягване до математиката.
Математиката при Галилей има ли функцията само на инструмент или й се приписва метафизично значение, както при Платон? Този въпрос - въпросът за философските възгледи на Галилей - се обсъжда и обсъжда много и до днес. Галилей е наричан и платоник, и кантианец, и позитивист и т.н. Без да навлизаме в дискусия по този въпрос, нека в заключение да припомним, че Галилей е искал на корицата на събраните му съчинения да бъдат написани думите: „Оттук ще стане ясно от безброй примери колко полезна е математиката в изводите относно това, което природата ни предлага и колко невъзможна е истинската философия без помощта на геометрията, за съответствието с истината проц. положено от Платон.
(Основните трудове на Галилей са преведени на български; вж. Галилео Галилей, Избрани произведения, т. I, II, М., 1964 г.; това включва по-специално "Диалог за двете системи на света", "Разговори и математически доказателства", "За телата във вода", "Звезден пратеник" - Прибл. прев.)