Аксиома на избора, Виртуална лаборатория Wiki, FANDOM, захранван от Wikia

Аксиомата на изборагласи: „За всяко семейство $ \_ $ от непразни несвързани множества съществува множество $ B $, което има един и само един общ елемент с всяко от множествата $ X_\alpha $.“

Аксиомата за изборне се приема безусловно от всички математици: някои се отнасят към нея с недоверие. Има мнение, че доказателствата, получени с помощта на тази аксиома, имат различна познавателна стойност от доказателствата, независими от нея. Основава се преди всичко на факта, че се твърди само съществуването на множеството $ B $, но не е даден начин за определянето му - оттук и неефективността в случая на безкрайни множества. Това е мнението например на Борел и Лебег. Противоположното мнение беше например от Хаусдорф и Френкел, които приехааксиомата на изборабез никакви резерви, признавайки за нея същата степен на „очевидност“, както за другите аксиоми на теорията на множествата:аксиомата за обема, аксиомата за съществуването на празно множество, аксиомата за двойка, аксиомата за сумата, аксиомата за степента, аксиомата за безкрая ity. Освен това сред последствията отаксиомата за изборима много доста специфични: например става възможно да се докаже парадоксът на Банах-Тарски, който едва ли може да се счита за "очевиден". Подробен анализ на множество доказателства, използващиАксиомата на избора, е извършен от Серпински. Въпреки това, без съмнение, много важни математически открития не биха могли да бъдат направени безаксиомата за избор[източник?] .

Съдържание

Алтернативна формулировка Редактиране

Аксиомата на изборагласи:

Нека X е множество от непразни множества. След това можем да изберем един елемент от всеки набор в X.

Функция за избор - функция върху набор от множества Xтака че за всяко множество s в X, f(s) е елемент от s. Използвайки понятието функция за избор, аксиомата гласи:

За всяко семейство от непразни множества X съществува функция за избор f, дефинирана на X.

Произволно декартово произведение на непразни множества е непразно.

Или най-кратко:

Всеки набор от непразни набори има функция за избор.

Това веднага предполага компактна формулировка на отрицаниетона аксиомата за избор:

Има набор от непразни набори, който няма функция за избор.

Втората версия наАксиомата на изборагласи:

За дадено произволно множество от двойки непресичащи се непразни множества съществува поне едно множество, което съдържа точно един общ елемент за всяко от непразните множества.

За всяко множество A, степенното множество (минус празното подмножество) има функция за избор.

Авторите, които използват тази формулировка, често също говорят за „функция за избор на A“, но уточняват, че имат предвид малко по-различна концепция за функция за избор. Неговият домейн е степенният набор (минус празното подмножество), докато другаде в тази статия обхватът на функцията за избор е "набор от набори". С това допълнително понятие за функция за избор,аксиомата за изборможе да бъде изразена накратко, както следва:

Всеки комплект има функция за избор.

Редактиране на приложението

До края на 19 век аксиомата за избора се използва безусловно. Например, след дефиниране на наборX, съдържащ непразно множество, математикът може да каже: "Нека F(s) да бъдат дефинирани за всяко s в X". Като цяло е невъзможно да се докаже, че F съществува без аксиомата за избор, но е,изглежда е бил игнориран до Zermelo.

Не всички случаи изискват аксиомата за избор. За крайно множествоXаксиомата за избор следва от другите аксиоми на теорията на множествата. В този случай това е същото като да кажем, че ако имаме няколко кутии (крайно число), всяка от които съдържа едно идентично нещо, тогава можем да изберем точно едно нещо от всяка кутия. Ясно е, че можем да направим това: започваме с първата кутия, избираме нещо; да отидем до втората кутия, да изберем нещо; и т. н. Тъй като има краен брой кутии, действайки по нашата процедура за подбор, ще стигнем до края. Резултатът е изрична функция за избор: функция, която свързва първото поле с първия елемент, който сме избрали, второто поле с втория елемент и т.н. (За да се получи формално доказателство за всички крайни множества, трябва да се използва принципът на математическата индукция).

В случай на безкрайно множествоXпонякога също е възможно да се заобиколи аксиомата за избор. Например, ако елементитеXса набори от естествени числа. Всяко непразно множество от естествени числа има най-малък елемент, така че при дефинирането на нашата функция за избор можем просто да кажем, че всяко множество е свързано с най-малкия елемент от множеството. Това ни позволява да изберем елемент от всяко множество, така че можем да напишем явен израз, който ни казва каква стойност приема нашата функция за избор. Ако е възможно да се дефинира функция за избор по този начин, аксиомата за избор не е необходима.

Трудности възникват, ако е невъзможно да се направи естествен избор на елементи от всеки комплект. Ако не можем да направим ясен избор, тогава защо сме сигурни, че такъв избор може да бъде направен по принцип? Например, некаXе множеството непразниподмножества от реални числа. Първо, можем да действаме така, сякашXе крайно. Ако се опитаме да изберем елемент от всяко множество, тогава тъй катоXе безкраен, нашата процедура за избор никога няма да приключи и следователно никога няма да получим функция за избор за всичкиX. Значи не става. След това можем да опитаме да определим най-малкия елемент от всяко множество. Но някои подмножества от реални числа не съдържат най-малкия елемент. Например, такова подмножество е отвореният интервал (0, 1). Акоxпринадлежи на (0, 1), тогаваx/2също принадлежи към него и е по-малко отx. Така че изборът на най-малкия елемент също не работи.

Причината, която ни позволява да изберем най-малкия елемент от подмножество от естествени числа, е фактът, че естествените числа имат свойството да бъдат добре подредени. Всяко подмножество от естествени числа има уникален най-малък елемент поради естествения ред. Може би, ако бяхме по-умни, бихме могли да кажем: „Може би, ако обичайният ред за реални числа не ни позволява да намерим специално (най-малко) число във всяко подмножество, бихме могли да въведем друг ред, който пак ще даде добре подреденото свойство. Тогава нашата функция ще може да избере най-малкия елемент от всеки набор поради необичайното ни подреждане. Проблемът тогава възниква в тази конструкция на добре подредена, която изисква наличието на аксиома за избор за своето решение. С други думи, всяко множество може да бъде добре подредено тогава и само ако аксиомата за избор е вярна.

Доказателствата, които изискват аксиомата за избор, винаги са неконструктивни: дори ако доказателството създава обект, не е възможно да се каже какво точно представлява той.предмет. Следователно, въпреки че аксиомата на избора ни позволява напълно да подредим множеството от реални числа, това не ни дава никаква видимост и конструктивизъм като цяло. Самата причина, поради която нашият избор по-горе за правилно подреждане на реалните числа беше такъв за всяко множествоXбеше, че можехме изрично да изберем елемент от такова множество. Ако не можем да уточним, че използваме добре подредени, тогава нашият избор не е съвсем ясен. Това е една от причините някои математици да не харесват аксиомата на избора. Например, конструктивистката позиция, че всички съществуващи доказателства трябва да бъдат напълно изрични; трябва да е възможно да се конструира всичко, което съществува. Те отхвърлят аксиомата на избора, защото тя твърди съществуването на обект, без да описва какво представлява той. От друга страна, самият факт, че аксиомата за избор се използва за доказване на съществуването, не означава, че не можем да конструираме конструкцията по друг начин.

Принципът на добър ред (теорема на Зермело) Редактиране

Една много често срещана и удобна формулировка използва понятието добре подредено множество. Ще ни трябват няколко дефиниции и ще започнем със стриктна дефиниция на линейния ред, изразяваща позната идея на езика на теорията на множествата. Припомнете си, че подредена двойка елементи се обозначава с $(x, y)$ и че продуктът на декартово множество $ X \times Y $ се състои от всички възможни подредени двойки $ (x, y) $, където $ x \in X, y \in Y $ .

Линеен редвърху множество $ A $ е подмножество на декартовото произведение $ R \subseteq A \times A $, което има следните свойства:

  1. Пълно: $ \forall x,y \in A ((x,y) \in R \vee (y,x) \in R) $
  2. Антисиметричен: $ \за всички x,y \in A((x,y) \in R \клин(y,x) \in R \rightarrow y=x) $
  3. Транзитив: $ \за всички x,y,z \in A ((x,y)\in R \клин (y,z) \in R \дясна стрелка (x,z) \in R) $

Пълният редна набор $ A $ е линеен ред, така че всяко подмножество $ X \subseteq A $ има най-малък елемент.

Принципът на пълен ред е, чевсеки комплект може да бъде напълно подреден.

Например наборът от естествени числа може да бъде добре подреден чрез обичайната връзка „по-малко или равно на“. Със същата връзка множеството от цели числа няма най-малък елемент. В този случай можем да съберем целите числа в редицата (0, −1, 1, −2, 2, … , −n,n, …) и да кажем, че по-ниските членове са по-малки от по-високите. Очевидно такава връзка ще бъде пълен ред върху цели числа.

Много по-малко очевидно е, че реалните числа, които образуват неизброимо множество, могат да бъдат добре подредени.

Редактиране на лемата на Zorn

По-формално: Нека $(P,\leqslant)$ е последователно разположен набор, т.е. релацията $\leqslant$ е рефлексивна, антисиметрична и транзитивна:

  • $ \forall x\in P\quad x\leqslant x $
  • $ \forall x,y\in P\quad x\leqslant y \и y\leqslant x \rightarrow x=y $
  • $ \forall x,y,z\in P\quad x\leqslant y \и y\leqslant z \rightarrow x\leqslant z $

Подмножество $ S\subset P $ се нарича линейно подредено, ако $ \forall x,y\in S\quad x\leqslant y \or y\leqslant x $ . Елемент $ u\in S $ се нарича горна граница, ако $ \forall x\in S\quad x\leqslant u $ .

Да приемем, че всяко линейно подредено подмножество на $P$ има горна граница. Тогава $ \exists m\in P \forall x\in P\quad m\leqslant x\rightarrow m=x $ емаксимумелемент.

Максималният принцип на Хаусдорф Редактиране

Вижте също Редактиране

Редактиране на литературата

  • Александров PSВъведение в теорията на множествата и общата топология. Глава 3, § 4.
  • Кановей В.Г.Аксиомата на избора и аксиомата на детерминизма. М.: Наука, серия "Проблеми на науката и техническия прогрес", 1984 г.
  • Медведев Ф. А.Ранната история на аксиомата на избора. Москва: Наука, 1982.