Аксиоматичен метод
Аксиоматичен метод,метод за изграждане на научна теория, при който тя се основава на някои първоначални положения (съждения) -аксиоми,илипостулати,от които всички други твърдения на тази наука (теореми) трябва да бъдат извлечени по чисто логичен начин, чрездоказателства.Цел A m. се състои в ограничаване на произвола при приемането на научни съждения като истини на дадена теория. Изграждането на науката на базата на А. м. обикновено се нарича дедуктивно. Всички понятия на дедуктивната теория (с изключение на фиксиран брой първоначални) се въвеждат с помощта надефиниции,, изразяващи (или обясняващи) чрез предварително въведени понятия. В една или друга степен дедуктивните доказателства, характерни за A. m., се използват в много науки. Но въпреки опитите за систематично прилагане на A. m. към изложението на философията (B. Spinoza), социологията (G. Vico), политическата икономия (K. Rodbertus-Yagetsov), биологията (J. Woodger) и други науки, математиката и символната логика, както и някои клонове на физиката (механика, термодинамика, електродинамика и др.), все още остават основната област на нейното приложение.
А. м. премина през 3 етапа в своето историческо развитие. Първият е свързан с изграждането на геометрията в Древна Гърция. Основното произведение от този период е "Елементите"Евклид(въпреки че, очевидно, още преди негоПитагор,, на когото се приписва откриването на A. m., а след товаПлатони неговите ученици са направили много за развитието на геометрията, базирана на A. m.). По това време се смяташе, че твърдения, чиято истинност е „очевидна от само себе си“, трябва да бъдат избрани като аксиоми, така че истинността на теоремите се счита за гарантирана безупречност на самата логика. Но Евклид не успя да се ограничи до чисто логически средстваизграждане на геометрия въз основа на аксиоми. Той охотно прибягва до интуицията по въпросите, свързани с непрекъснатостта, взаимното разположение и еднаквостта на геометричните обекти. Въпреки това, по времето на Евклид, подобни призиви към интуицията може да не са били възприети като излизащи отвъд границите на логиката, главно защото самата логика все още не е била аксиоматизирана (въпреки че частичната формализация на логиката, извършена отАристотели неговите последователи, е известно приближение до аксиоматизацията). Нямаше и достатъчна яснота при въвеждането на първоначалните понятия и в дефиницията на новите понятия.
Началото на втория етап в историята на А. м. обикновено се свързва с откриването на Н. И.Лобачевски,Я.Boliaiи K. F.Gaussвъзможността за конструиране на геометрия по последователен начин, базиран на системи от аксиоми, различни от Евклидовата. Това откритие унищожава вярата в абсолютната („очевидна“ или „априорна“) истинност на аксиомите и базираните на тях научни теории. Сега аксиомите са започнали да се разбират просто като отправни точки на дадена теория, докато въпросът за тяхната истинност в един или друг смисъл (и изборът като аксиоми) надхвърля обхвата на аксиоматичната теория като такава и се отнася до нейната връзка с факти, лежащи извън нея. Появиха се много (и освен това различни) геометрични, аритметични и алгебрични теории, които бяха построени с помощта на АМ (работите на Р.Дедекинд,Г.Грасмани др.). Този етап от развитието на асиметричната математика завършва със създаването на аксиоматичните системи на аритметиката (J.Peano, 1891), геометрията (D.Hilbert,1899), пропозиционалното смятане и предикатите (A. N. Whitehead и B. Russell, Англия, 1910) иаксиоматична теория на множествата(E.Zermelo,1908).
Аксиоматизация на Хилбертгеометрията позволи на Ф.Клайни А.Поанкареда докажат последователността на геометрията на Лобачевски по отношение на евклидовата геометрия чрез уточняване наинтерпретациина понятия и изречения на неевклидовата геометрия от гледна точка на евклидовата геометрия или, както се казва, конструиране намоделина първото чрез второто. Оттогава методът на моделите (интерпретациите) се превърна в най-важния метод за установяване на относителната последователност на аксиоматичните теории. В същото време беше ясно разкрито, че в допълнение към „естествената“ интерпретация (т.е. тази, в името на изясняването и развитието на която е изградена тази теория), аксиоматичната теория може да има и други интерпретации и може да се счита с еднаква причина „говореща“ за всяка от тях.
Последователното развитие на тази идея и желанието да се опишат точно логическите средства за извеждане на теореми от аксиоми доведоха Хилберт до концепцията за формалната АМ, която е характерна за нейния трети, модерен етап. Основната идея на Хилберт е пълното формализиране на езика на науката, в който нейните съждения се разглеждат просто като последователности от знаци (формули), които като такива нямат значение (което придобиват само с някаква специфична интерпретация). Това важи и за аксиомите, както общологически, така и специфични за дадена теория. За да се изведат теореми от аксиоми (и като цяло някои формули от други), се формулират специални правила за извеждане (например така нареченото правило на modus ponens - „правилото за зачертаване“, което ви позволява да получитеBотAи „A предполага B“). Доказателство в такава теория (изчисление,илиформална система)—е просто последователност от формули, всяка от които е или аксиома, или получена от предишните формули на последователността от някоиправило за извод.За разлика от такива формални доказателства, свойствата на формалната система като цяло се обсъждат - и понякога те могат да бъдат доказани - чрез смислени средства на т.нар.Метатеории,т.е. теория, която разглежда дадена („обективна“) теория като предмет на изследване. На езика на метатеорията (метаезик) са формулирани и правилата за извеждане на обективна теория. Както е замислено от Хилберт, в рамките на създадената от него теория на доказателството, т.е. допускайки в метатеорията само т.нар. крайни методи на разсъждение (без използване на препратки към обекти, които нямат крайна конструкция), би било възможно да се докаже последователността и пълнотата на цялата класическа математика (тоест доказуемостта на всяка формула, която е вярна при някаква конкретна интерпретация). Въпреки редица значителни резултати в тази насока, програмата на Хилберт като цяло (обикновено се нарича формализъм) е незадоволима, тъй като според най-важния резултат на К.Гьодел(1931), всяка достатъчно богата, последователна формална система е задължително непълна (така наречената теорема за непълнотата). Теоремата на Гьодел свидетелства за ограниченията на аритметиката (въпреки че някои разширения на разрешените метатеоретични средства позволиха на немския математик Г. Генцен, П. С.Новикови други математици да получат доказателство за последователността на формализираната аритметика).
A. m. също е обект на критика въз основа на различни семантични (вижЛогическа семантика) критерии. Така интуиционистите (L. E. Ya.Brauer,G.Weilи други) не признават валидността на принципа на изключената среда, когато се прилага към безкрайни множества (вижтеИзключеният трети принцип), междувременно този принцип не се приема само като логическа аксиома в повечетоформални теории, но също така се използва по същество (макар и имплицитно) в основните предпоставки на програмата на Хилберт, според която последователността на една теория е достатъчно условие за нейната "истина". Подобно на интуиционизма,конструктивното направлениев математиката (в СССР - А. А. Марков и Н. А. Шанин) смята, че целта на математиката е изучаването не на произволни модели на непротиворечиви формални системи, а само на колекции от обекти, които позволяват в известен смисъл ефективно изграждане.
Още по-съществени възражения срещу AM се повдигат от ултра-интуиционистката критика, която поставя под въпрос уникалността на естествената редица от числа и, следователно, недвусмислената определеност на концепцията за формална системна теорема. Според тази критика AM се основава на „принципа на локалността на доказателствата“, който предполага, че ако аксиомите са верни и правилата за извод са верни, тогава теоремите също трябва задължително да са верни. По този начин интуитивното обосноваване на често използвания принцип на математическата индукция, според ултраинтуиционистката критика, съдържа неразрушим порочен кръг. Свръхинтуитивизмът, не само критика, предлага и положителна програма за преодоляване на тези трудности.
Лит.:Елементи на Евклид, прев. от гръцки, [т.е. 1 - 3], М. - Л., 1948 - 50; Kleene S. K., Въведение в метаматематиката, прев. от англ., М., 1957 (библ.); Новиков П. С., Елементи на математическата логика, Москва, 1959 г.: Есенин-Волпин А. С., За аксиоматичния метод, „Проблеми на философията“, 1959 г., № 7; Садовски В. Н., Аксиоматика. метод на конструиране научен. знание, в книгата: Филос. въпроси на съвременността формална логика, Москва, 1962; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1 - 2, V., 1934 - 39.
Ю. А. Гастев, А. С. Есенин-Волпин.