Анализ на безкрайно малките
Инфинитезималният анализе историческото наименование на смятането, клон на висшата математика, който изучава граници, производни, интеграли и безкрайни серии и е важна част от съвременното математическо образование. Състои се от две основни части: диференциално смятане и интегрално смятане, които са свързани помежду си с формулата на Нютон-Лайбниц.
Съдържание
В древния период се появиха някои идеи, които по-късно доведоха до интегрално смятане, но в онази епоха тези идеи не бяха развити по строг, систематичен начин. Изчисленията на обеми и площи, които са една от целите на интегралното смятане, могат да бъдат намерени в Московския математически папирус от Египет (ок. 1820 г. пр. н. е.), но формулите са по-скоро инструкции, без никаква индикация за метода, а някои просто са грешни. [1] По време на ерата на гръцката математика, Евдокс (ок. 408-355 г. пр. н. е.) използва метода на изчерпване за изчисляване на площи и обеми, който предвижда концепцията за граница, а по-късно тази идея е доразвита от Архимед (ок. 287-212 г. пр. н. е.), изобретявайки евристика, която прилича на методи на интегрално смятане. [2] Методът на изчерпване е изобретен по-късно в Китай от Лиу Хуей през 3-ти век сл. н. е., който той използва за изчисляване на площта на кръг. [3] През 5-ти век от н. е. Зу Чунгжи разработва метод за изчисляване на обема на сфера, който по-късно ще бъде наречен принцип на Кавалиери. [4]
През 14-ти век индийският математик Мадхава Сангамаграма и астрономическото математическо училище в Керала въвеждат много компоненти на смятането, като редове на Тейлър, апроксимация на безкрайни серии, тест за интегрална конвергенция, ранни форми на диференциране, интегриране член по член, итеративни методи за решаване на нелинейни уравнения и определяне, че площта под кривата е нейнатаинтегрална. Някои смятат Юктибхаза (Yuktibhāṣā) за първата работа по смятане. [5]
| „Анализът на безкрайно малките беше първото постижение на съвременната математика и е трудно да се надцени неговото значение. Мисля, че той, повече от всичко друго, уникално определя отправната точка на съвременната математика, а математическият анализ, който е нейното логическо развитие, все още определя най-големия технически прогрес в точното мислене.“ — Джон фон Нойман [6] |
В Европа трактатът на Бонавентура Кавалиери се превръща във фундаментална работа, в която той твърди, че обемите и площите могат да бъдат изчислени като суми от обеми и площи на безкрайно тънко сечение. Идеите бяха подобни на тези, изложени от Архимед в Метод, но този трактат на Архимед беше изгубен до първата половина на 20 век. Работата на Кавалиери не беше призната, тъй като методите му можеха да доведат до погрешни резултати и той си създаде съмнителна репутация за безкрайно малки стойности.
Официално изследване на безкрайно малкото смятане, което Кавалиери комбинира с смятането на крайните разлики, е извършено в Европа приблизително по същото време. Пиер Ферма, твърдейки, че е заимствал това от Диофант, въвежда понятието „квазиравенство“ (англ. ade quality), което е равенство до безкрайно малка грешка. [7] Джон Уолис, Айзък Бароу и Джеймс Грегъри също имат голям принос. Последните две около 1675 г. доказаха втората фундаментална теорема на смятането.
Исак Нютон въвежда правилото за произведение и правилото за веригата, концепцията за производни от по-висок порядък, редове на Тейлър и аналитични функции в един вид нотация, която използва при решаването на проблеми на математическата физика. В публикациите си Нютонпреформулира идеите си в съответствие с математическия език на времето, заменяйки безкрайно малките изчисления с други еквивалентни форми на геометрични представяния, които се считат за безупречни. Той използва методите на смятането за решаване на проблемите с движението на планетите, формата на повърхностите на въртяща се течност, сплескаността на Земята, плъзгането на товар върху циклоида и много други проблеми, които той очерта в своята работаМатематически принципи на естествената философия(1687). В друга работа той разработи серийни разширения на функции, включително използването на дробни и ирационални степени, и беше ясно, че разбира принципите на серията на Тейлър. Той не публикува всичките си открития, защото по това време безкрайно малките методи имаха съмнителна репутация.
Тези идеи са кодифицирани в истинско безкрайно маломерно смятане от Готфрид Вилхелм Лайбниц, който първоначално е обвинен в плагиатство от Нютон. [8] В момента той се счита за независим изобретател и разработчик на смятане. Неговият принос е в разработването на ясни правила за работа с безкрайно малки, позволяващи изчисляване на производни от втори и по-високи разряди, както и в разработването на правилото за произведение и правилото на веригата в техните диференциални и интегрални форми. За разлика от Нютон, Лайбниц обръща голямо внимание на формализма, често прекарвайки много дни в избора на правилните символи за конкретни концепции.
Изобретяването на смятането обикновено се приписва както на Лайбниц, така и на Нютон. Нютон е първият, който прилага смятането в общата физика, а Лайбниц развива голяма част от нотацията, използвана в математиката днес. Основното прозрение, което показват и Нютон, и Лайбниц, е откриването на законите на диференциацията и интеграцията,въвеждането на производни от втори и по-висок ред и въвеждането на концепцията за апроксимация на полиноми чрез серии. По времето на Нютон основната теорема на смятането вече е известна.
От времето на Лайбниц и Нютон много математици са допринесли за по-нататъшното развитие на смятането. Една от първите най-пълни работи върху анализа на крайните и безкрайно малките е книга, написана през 1748 г. от Мария Гаетана Агнези. [9]
Няколко математици, включително Maclaurin, се опитаха да докажат валидността на използването на безкрайно малки, но това беше направено едва 150 години по-късно от трудовете на Коши и Вайерщрас, които най-накрая намериха средства как да избегнат простите „малки неща“ на безкрайно малките и бяха положени основите на диференциалното и интегралното смятане. В писанията на Коши откриваме универсален спектър от основополагащи подходи, включително дефиницията на непрекъснатостта по отношение на безкрайно малките и (донякъде неточния) прототип на (ε, δ)-граничната дефиниция в дефиницията на диференциацията. В работата си Вайерщрас формализира концепцията за граница и елиминира безкрайно малките количества. След тази работа на Вайерщрас, границите, а не безкрайно малките количества, станаха обща основа за смятане. Бернхард Риман използва тези идеи, за да даде точна дефиниция на интеграла. В допълнение, през този период идеите на смятането са обобщени към евклидовото пространство и към комплексната равнина.
В съвременната математика основите на смятането са включени в раздела за реален анализ, който съдържа пълни дефиниции и доказателства на теоремите на смятането. Обхватът на изследването на математиката стана много по-широк. Анри Лебег разработи теорията за мерките на множествата и я използва, за да дефинира интеграли на всички функции, освен на най-екзотичните. Лоран Шварц въвежда обобщени функции,който може да се използва за изчисляване на производни на всяка функция изобщо.
Въвеждането на ограничения не определя единствения строг подход към основата на смятането. Алтернатива би бил например нестандартният анализ на Ейбрахам Робинсън. Подходът на Робинсън, разработен през 60-те години на миналия век, използва технически инструменти от математическата логика, за да разшири системата от реални числа до безкрайно малки и безкрайни, както беше в оригиналната концепция на Нютон-Лайбниц. Тези числа, наречени хиперреални, могат да се използват в обичайните правила на смятането, точно както е направил Лайбниц.
Въпреки че някои идеи за смятане са били разработени преди това в Египет, Гърция, Китай, Индия, Ирак, Персия и Япония, съвременната употреба на смятане започва в Европа през 17-ти век, когато Исак Нютон и Готфрид Вилхелм Лайбниц надграждат върху работата на предишни математици своите основни принципи. Развитието на смятането се основава на по-ранните концепции за мигновено движение и площ под крива.
Диференциалното смятане се използва при изчисления, свързани със скорост и ускорение, ъгъл на кривата и оптимизация. Приложенията на интегралното смятане включват изчисления, включващи площи, обеми, дължини на дъги, центрове на маса, работа и налягане. По-сложните приложения включват изчисления на степенни редове и редове на Фурие.
Изчислението [прецизиране] също се използва за получаване на по-точно разбиране на естеството на пространството, времето и движението. От векове математиците и философите са се борили с парадоксите, свързани с деленето на нула или намирането на сумата от безкрайна поредица от числа. Тези въпроси възникват при изучаването на движението и изчисляването на площите. Древногръцкият философ Зенон от Елея даде няколко известни примера за подобни парадокси.Calculus предоставя инструменти за разрешаване на тези парадокси, по-специално ограничения и безкрайни серии.
Безкрайно малки количества могат да се разглеждат като числа, но все пак те са "безкрайно малки". Безкрайно малко числоdxе по-голямо от 0, но по-малко от което и да е от числата в редицата 1, 1/2, 1/3, ... и по-малко от всяко положително реално число. Взето многократно, едно безкрайно малко е все още безкрайно малко, т.е. безкрайно малките не отговарят на аксиомата на Архимед. От тази гледна точка смятането е набор от методи за работа с безкрайно малки. Този подход не беше подкрепен през 19 век, защото беше трудно да се представи концепцията за безкрайно малка точност. Концепцията обаче е възродена през 20-ти век с появата на нестандартния анализ и гладкия безкрайно малък анализ, който осигурява солидна основа за манипулирането на безкрайно малките.
През 19 век безкрайно малките са заменени с граници. Границите описват стойността на функция за някакъв вход по отношение на нейната стойност за съседен вход. Те обхващат промени в малък мащаб, като безкрайно малки, но се използват за обичайната система от реални числа. В тази интерпретация смятането е набор от методи за манипулиране на определени граници. Безкрайно малките се заменят с много малки числа, а безкрайно малките промени във функцията се намират чрез приемане на ограничаващо поведение при все по-малки и по-малки числа. Ограниченията са най-лесният начин за установяване на строга основа за смятане и поради тази причина те се приемат като стандартен подход.
Нотацията, въведена от Лайбниц за производната, изглежда така:
При подхода, базиран на ограничения, символътdy/dxтрябва да се тълкува не като частноот разделяне на две числа, но като съкращение за границата, изчислена по-горе. Лайбниц не се стреми да го представи като съотношение на две безкрайно малки числа:dy— безкрайно малка промянаyиdx— безкрайно малка промянаx, която е причинила промянатаy. Можем да мислим заd/dxкато оператор за диференциране, който приема една функция като вход и извежда друга функция, производната. Например:
С това разбиранеdxв знаменателя се чете „спрямо x“. Дори когато се представя смятане с помощта на ограничения, а не безкрайно малки, нотацията е обща за манипулиране на символи, сякашdxиdyса реални числа. Въпреки че, за да се избегнат подобни манипулации, понякога е удобно да се използва такава нотация в изразяването на операцията, тъй като например се използва при обозначаване на общата производна.