Astronet - Механика на твърдото тяло
Жироскопи. Безплатен жироскоп. Прецесия на жироскоп под действието на външни сили. Ъглова скорост на прецесия. Нутации. Жироскопични сили, тяхната природа и проявления.
Въртящи се върхове. Стабилност на въртене на симетричен връх.
Жироскопът е масивно аксиално симетрично тяло, което се върти с висока ъглова скорост около своята ос на симетрия.
Безплатен жироскоп.
В този случай моментите на всички външни сили, включително силата на гравитацията, спрямо центъра на масата на жироскопа са равни на нула. Това може да се осъществи, например, чрез поставяне на жироскопа в карданите, описани в лекция 3 и показани на фиг. 3.13.
и ъгловият момент се запазва:
Жироскопът се държи по същия начин като по-свободно тяло на въртене (вижте лекция 3). В зависимост от началните условия са възможни два варианта за поведение на жироскопа:
1. Ако жироскопът се завърти около оста на симетрия, тогава посоките на ъгловия момент и ъгловата скорост съвпадат:
и посоката на оста на симетрия на жироскопа остава непроменена. Това може да се провери чрез завъртане на стойката, на която е разположен карданът - при произволни завъртания на стойката оста на жироскопа запазва същата посока в пространството. По същата причина върхът, "изстрелян" върху лист картон и изхвърлен нагоре (фиг. 4.1), запазва посоката на оста си по време на полета и, падайки с върха върху картона, продължава да се върти равномерно, докато се изчерпи запасът от кинетична енергия.
Свободен жироскоп, завъртян около оста на симетрия, има много значителна стабилност. От основното уравнение на моментите следва, че промяната на ъгловия момент
Ако интервалът от време е малък, тогава той също е малък, тоест при краткотрайни влияния дори на много големи сили движението на жироскопа се променялеко. Жироскопът, така да се каже, се съпротивлява на опитите да промени своя ъглов импулс и изглежда е "закален".
Нека вземем конусовиден жироскоп, положен върху опорен прът в центъра на масата O (фиг. 4.2). Ако тялото на жироскопа не се върти, значи той е в състояние на безразлично равновесие и най-малкото натискане го премества от мястото му. Стабилността на свободния жироскоп се използва в различни технически устройства, например в автопилот.
2. Ако свободен жироскоп се завърти по такъв начин, че моментният вектор на ъгловата скорост и оста на симетрия на жироскопа не съвпадат (по правило това несъответствие е незначително по време на бързо въртене), тогава се наблюдава движението, описано в Лекция 3 като "свободна регулярна прецесия". По отношение на жироскопа се нарича нутация. В този случай оста на симетрия на жироскопа, векторитеLи лежат в една и съща равнина, която се върти около посоката с ъглова скорост, равна на къде е инерционният момент на жироскопа спрямо главната централна ос, перпендикулярна на оста на симетрия. Тази ъглова скорост (да я наречем скорост на нутация) по време на бързото правилно въртене на жироскопа се оказва доста голяма и нутацията се възприема от окото като малко трептене на оста на симетрия на жироскопа.
Нутационното движение може лесно да се демонстрира с помощта на жироскопа, показан на фиг. 4.2 - възниква, когато чук удари пръта на жироскопа, въртящ се около оста си. В същото време, колкото повече се върти жироскопът, толкова по-голям е неговият ъглов импулсL- толкова по-голяма е скоростта на нутация и толкова "по-малко" е трептенето на фигурната ос. Това преживяванедемонстрира още една характерна особеност на нутацията - с времето тя постепенно намалява и изчезва. Това е следствие от неизбежното триене в лагера на жироскопа.
Нашата Земя е вид жироскоп и нутационното движение също е характерно за нея. Това се дължи на факта, че Земята е донякъде сплескана от полюсите, поради което инерционните моменти около оста на симетрия и около оста, лежаща в екваториалната равнина, са различни. В същото време в референтната система, свързана със Земята, оста на въртене се движи по повърхността на конуса около оста на симетрия на Земята с ъглова скорост, изчислена по формула (3.58), т.е. прави едно завъртане за около 300 дни. Всъщност, поради неабсолютната твърдост на Земята, това време се оказва по-дълго - то е около 440 дни. В същото време разстоянието на точката на земната повърхност, през която минава оста на въртене, от точката, през която минава оста на симетрия (Северния полюс), е само няколко метра. Хранителното движение на Земята не изчезва - очевидно то се поддържа от сезонни промени, настъпващи на повърхността
Прецесия на жироскоп под действието на външни сили. елементарна теория.
Нека сега разгледаме ситуацията, когато към оста на жироскопа се прилага сила, чиято линия на действие не минава през точката на закрепване. Експериментите показват, че в този случай жироскопът се държи по много необичаен начин.
Ако пружина е прикрепена към оста на жироскоп, шарнирно закрепена в точка O (фиг. 4.3) и издърпана нагоре със силаF, тогава оста на жироскопа ще се движи не по посока на силата, а перпендикулярно на нея, настрани. Това движение се нарича прецесия на жироскопа под действието на външна сила.
Емпирично може да се установи, че ъгловата скорост на прецесията зависи не само отголемината на силата (фиг. 4.3), но и върху коя точка от оста на жироскопа се прилага тази сила: с увеличаване на и рамото й спрямо точката на фиксиране O скоростта на прецесия се увеличава. В този случай се оказва, че колкото повече се върти жироскопът, толкова по-ниска е ъгловата скорост на прецесия за дадено и
Силата, причиняваща прецесияFможе да бъде гравитация, ако точката на закрепване на жироскопа не съвпада с центъра на масата. Така че, ако прът с бързо въртящ се диск е окачен на нишка (фиг. 4.4), тогава той не се спуска надолу, както може да се предположи, а прави прецесионно движение около нишката. Наблюдението на прецесията на жироскопа под действието на гравитацията е в известен смисъл още по-удобно - линията на действие на силата "автоматично" се измества заедно с оста на жироскопа, като същевременно запазва ориентацията си в пространството.
Могат да се дадат и други примери за прецесия - например движението на оста на добре позната детска играчка - връх със заострен край (фиг. 4.5). Въртящият се връх, развит около оста си и поставен върху хоризонтална равнина леко наклонен, започва да прецетира около вертикалната ос под въздействието на гравитацията (фиг. 4.5).
Точното решение на проблема за движението на жироскопа в полето на външните сили е доста израз за ъгловата скорост на прецесията, който може лесно да бъде получен в рамките на така нареченатаелементарна теория на жироскопа.В тази теория се приема, че моментната ъглова скорост на жироскопа и неговият ъглов момент са насочени по протежение на оста на симетрия на жироскопа. жироскоп. С други думи, приема се, че ъгловата скорост на въртене на жироскопа около оста му е много по-голяма от ъгловата скорост на прецесия:
така че приносът къмL, дължащ се на прецесионното движение на жироскопа, може да бъде пренебрегнат. В това приближение моментътимпулсът на жироскопа очевидно е равен на
където е инерционният момент спрямо оста на симетрия.
Така че, помислете за тежък симетричен жироскоп, в който фиксираната точка S (опорна точка на стойката) не съвпада с центъра на масата O (фиг. 4.6).
Моментът на тежестта около точка S
където е ъгълът между вертикала и оста на симетрия на жироскопа. ВекторMе насочен по нормалата към равнината, съдържаща оста на симетрия на жироскопа и вертикалата през точката S (фиг. 4.6). Реакционната сила на опората минава през S и нейният момент около тази точка е нула.
Промяната в ъгловия моментLсе определя от израза
В този случай кактоL, така и оста на върха прецесират около вертикалната посока с ъглова скорост.Още веднъж подчертаваме, че е направено предположението, че условието (4.5) е изпълнено и чеLе постоянно насочено по оста на симетрия на жироскопа. От фиг. 4.6 следва, че
Във векторна форма
Сравнявайки (4.8) и (4.10), получаваме следната връзка между момента на силатаM, ъгловия моментLи ъгловата скорост на прецесията:
Тази връзка позволява да се определи посоката на прецесия за дадена посока на въртене на върха около оста му.
Имайте предвид, чеMопределя ъгловата скорост на прецесията, а не ъгловото ускорение, така че мигновеното "изключване"Mводи до мигновено изчезване на прецесията, тоест прецесионното движение е безинерционно.
Силата, причиняваща прецесионното движение, може да бъде от всякакво естество. За поддържане на това движение е важно векторът на въртящия моментMда се върти заедно с оста на жироскопа. Както вече беше отбелязано, в случай на гравитация това се постига автоматично. В този случай от (4.11) (виж също фиг. 4.6) може да се получи:
Ако вземем предвид, че връзката (4.6) е валидна в нашето приближение, тогава за ъгловата скорост на прецесията получаваме
Трябва да се отбележи, че той не зависи от ъгъла на наклона на оста на жироскопа и е обратно пропорционален, което е в добро съответствие с експерименталните данни.