Бройна система 2

Какво е бройна система?

Бройната система е набор от техники и правила, по които се записват и четат числата.

Има позиционни и непозиционни бройни системи.

В непозиционните бройни системитеглото на една цифра (т.е. приносът, който тя прави към стойността на числото) не зависи от нейната позиция в нотацията на числото. И така, в римската бройна система в числото XXXII (тридесет и две), теглото на цифрата X във всяка позиция е просто десет.

В позиционните бройни системитеглото на всяка цифра се променя в зависимост от нейната позиция (позиция) в поредицата от цифри, представляващи числото. Например в числото 757.7 първата седем означава 7 стотни, втората - 7 единици, а третата - 7 десети от единицата.

Самото въвеждане на числото 757.7 означава съкратен израз:

Всяка позиционна бройна система се характеризира със своятаоснова.

Основата на позиционната бройна системае броят на различните цифри, използвани за представяне на числа в тази бройна система.

За основа на системата може да се вземе всяко естествено число - две, три, четири и т.н. Следователно са възможни безкраен брой позиционни системи: двоични, троични, кватернерни и т.н.

Как се генерират цели числа в позиционни бройни системи?

Във всяка бройна система цифрите са подредени според техните стойности: 1 е по-голямо от 0, 2 е по-голямо от 1 и т.н.

Промоцияномерсе отнася до замяната му със следващата най-висока стойност.

За напредване на 1 означава да го замените с 2, за напредване на 2 означава да го замените с 3 и т.н. Преместването напред на най-значимата цифра (например цифрата 9 в десетичната система) означава замяната й с 0. В двоична система, която използва само две цифри— 0 и 1, повишаването на 0 означава замяната му с 1, а повишаването на 1 означава замяната му с 0.

За да образувате цяло число след дадено цяло число, преместете напред най-дясната цифра на числото; ако някоя цифра стане нула след повишение, тогава трябва да преместите напред цифрата вляво от нея.

Прилагайки това правило, записваме първите десет цели числа

в двоична система: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
в троичната система: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
в кунарната система: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
в осмична: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

В допълнение към десетичните, широко се използват системи с основа, която е цяло число на степен 2, а именно:

Защо хората използват десетичната система, а компютрите използват двоичната?

Хората предпочитат десетичната система, вероятно защото от древни времена са броили на пръсти, а хората имат десет пръста на ръцете и краката си. Не винаги и не навсякъде хората използват десетичната бройна система. В Китай, например, десетичната бройна система се използва дълго време.

А компютрите използват двоичната система, защото тя има редицапредимства пред други системи:

за реализацията му са необходимитехнически средства с две устойчиви състояния(има ток - няма ток, намагнитен - не е намагнитен и т.н.), а не например с десет - както е десетично;
представяне на информация чрез само две състояниянадеждноиустойчиво на шум;
възможно е да сеизползвабулева алгебраза извършване на логически трансформации на информация;
двоичната аритметика е много по-проста от десетичната аритметика.

Двоичен дефицит—бързо увеличаване на броя на цифрите, необходими за записване на числа.

Двоичната система, която е удобна за компютри, е неудобна за човек поради своята обемност и необичайна нотация.

Преобразуването на числа от десетични в двоични и обратно се извършва от машина. Въпреки това, за да се използва професионално компютър, човек трябва да се научи да разбира думата машина. За това са предназначени осмичната и шестнадесетичната система.

Числата в тези системи са почти толкова лесни за четене, колкото десетичните числа, те изискват съответно три (осмична) и четири (шестнадесетична) пъти по-малко цифри, отколкото в двоичната система (в края на краищата числата 8 и 16 са съответно третата и четвъртата степен на числото 2).

Преобразуване на числа от една бройна система в друга

Числотоpот различни цифри, използвани в позиционната система, определя името на бройната система и се наричаоснована бройната система -"p". Всяко числоNв позиционен запис с основаpможе да бъде представено като полином в основаp:

тукNе числото,ajса коефициентите (цифрите на числото),pе основата на бройната система (p>1). Прието е числата да се представят като поредица от цифри:

Преобразуването на числата в десетичната системасе извършва чрез съставяне на степенен ред с основата на тази система (вижте формула 1.1), от която се превежда числото. След това се изчислява стойността на сумата.