Дедуктивно и индуктивно разсъждение - MathHelpPlanet
На този етап е много препоръчително да се разгледа въпросът какво представляват разсъжденията, изводите, каква е тяхната структура, видове и критерии за коректност, какви заключения се изучават от логиката и по-специално от математическата логика.
Изводът е логическа (умствена) операция (процедура), състояща се в получаване на ново решение (изявление, твърдение) от едно или повече известни по-рано съждения. По-рано известни съждения, които са част от заключението, се наричат негови предпоставки, а новото съждение се нарича негово следствие (или заключение). От съдържателна гледна точка умозаключението е преход от съществуващо (налично) знание към ново знание. От формална гледна точка заключението е преход от предпоставки към следствие. В логиката заключението обикновено се представя като фигура, в която предпоставките са написани една под друга и разделени с хоризонтална линия, под която е написано следствието. Разсъждението е последователност от изводи, а предпоставките на следващите изводи са следствията от предишни изводи от тази последователност.
Изводите се делят на дедуктивни и индуктивни. Широко разпространено е мнението, че дедуктивното разсъждение е „извод от общото към частното“, а индуктивното разсъждение е „от частното към общото“. Тези "дефиниции" само в най-общи термини характеризират по-специално дедуктивното разсъждение. Това дадено свойство все още не е определящо за тях. Дедуктивното разсъждение се основава предимно на анализа на формалната (логическа) структура на предпоставките и следствията, индуктивното разсъждение се основава на анализа на тяхното съдържание.
Обмислете и анализирайте следните примери.
Той съдържа връзката между парцелите иследствието изобщо има определен физически причинно-следствен характер.
Най-важният методологически въпрос, свързан с дедуктивните разсъждения, е въпросът за определяне на правилността (коректността) на разсъжденията. Често срещана грешка тук е, че правилността на заключението се идентифицира с истинността на заключението, получено въз основа на това заключение: заключението се счита за правилно, ако "в резултат на това стигнем до истината". Това е грешно. Коректността на дедуктивните разсъждения означава, че те не винаги водят до вярно заключение, а винаги, когато произтичат от всички верни предпоставки. С други думи, едно заключение се счита за правилно, ако имайки предпоставките и следствията на дадена структура (както е дефинирано в заключението), предвид истинността на всички предпоставки, със сигурност ще получим истинността на следствието. По този начин, за да се докаже неправилността на извода, е необходимо да се посочи такава конкретизация (пример), в която всички предпоставки биха били верни, а следствието би било невярно. Такъв пример се нарича опровергаващ (или контрапример).
И така, при правилно дедуктивно разсъждение следствието трябва да е вярно, при условие че всички предпоставки са верни. От това не трябва да се заключава, че ако сред предпоставките има фалшиви предпоставки, тогава следствието трябва да е невярно, въпреки че такава ситуация е възможна. Следващият пример показва, че дори и при всички неверни предпоставки, едно правилно заключение може да даде истинско следствие.
Това заключение е правилно, тъй като се основава на схемата: (правило 6.14 от верижното заключение).
В случай, че сред предпоставките на умозаключението има неверни, те казват, че има фактическа грешка в заключението; ако самото дедуктивно разсъждение е неправилно, тогава те говорят за логическа грешка.
INЗаключение Нека обърнем внимание на факта, че за разлика от твърденията (съжденията), които се делят на верни и неверни, изводите се делят на верни и неверни. Тази терминологична разлика не е случайна. Факт е, че всяко твърдение потвърждава наличието или отсъствието на определени свойства или отношения между обекти или явления. Следователно всяко твърдение има за свой "прототип" някои връзки и отношения между обекти и явления от реалния свят и позволява, поне по принцип, тест за истинност. Именно това обстоятелство се подчертава, като се казва, че даденото твърдение е вярно или невярно. В същото време в реалния свят няма реални процеси и явления, които биха могли да се считат за "прототипи" на логическата операция на прехода от едно твърдение към друго. Тази логическа операция е чисто умствена, тя се случва само в съзнанието ни и дори по принцип не позволява "проверка за истина". Изборът на правилни заключения е един от видовете познавателна дейност, който е свързан с други видове познание и в крайна сметка се основава на огромния практически опит на човечеството.
Правилни и неправилни дедуктивни разсъждения
Преди това беше разработена теория, която позволява да се отговори на въпроса дали определена формула е логическо следствие от даден набор от формули или не, както и да се намерят всички логически следствия от тези формули. Нека го приложим към разсъждението, което е поредица от твърдения (съждения), за да определим дали разсъждението е правилно или не, т.е. правилен или неправилен извод се прави с помощта на дадено разсъждение от дадени предпоставки.
Пример 7.9. Помислете за следния аргумент: „АкоЧетириъгълникът е успоредник, тогава срещуположните му ъгли са равни. Четириъгълникът е успоредник. Следователно неговите противоположни ъгли са равни. "За да отговорим на въпроса дали това разсъждение е вярно, трябва да разберем дали формулата на пропозиционалната алгебра, която отразява структурата на заключението на това разсъждение, ще бъде логично следствие от формулите на пропозиционалната алгебра, които отразяват структурите на неговите предпоставки. Структурата на предпоставките се изразява с формули, а структурата на извода се изразява от формулата. - твърдението: "Противоположните ъгли на четириъгълник са равни". ) Известно е (вижте правило 6.8), че формулата е логическо следствие от формулите... Следователно горното разсъждение е правилно и направеният извод наистина следва от предпоставките.
Разсъжденията в тази форма не са необичайни в математиката. Ето още едно подобно разсъждение: „Ако 10 се дели на 3, то 100 се дели на 3. 10 се дели на 3. Следователно 100 се дели на 3.“ Горното разсъждение е правилно, но заключението му е невярно. Това обстоятелство не трябва да ни обърква: в края на краищата правилното разсъждение води до вярно твърдение, при условие че всички предпоставки на разсъждението са верни. В този случай една от двете предпоставки не е вярна.
Пример 7.10. Помислете за следното разсъждение: "Ако курсът по математическа логика не е интересен, значи е полезен. Курсът по математическа логика е безполезен или не е труден. Курсът по математическа логика е труден. Следователно този курс е интересен." Нека въведем обозначението:
След това, за да се отговори на въпроса дали горното разсъждение е правилно, е необходимо да се установи дали следното логическо следствие е вярно:
Нека покажем, че е истина. Базиранеквивалентност от теорема 4.4, втората предпоставка може да бъде заменена с . Освен това, съгласно правило 6.14, имаме . Тогава съгласно правило 6.13. Последната формула, въз основа на еквивалентността от теорема 4.4, т. а), е еквивалентна на формулата . И накрая, използвайки третата предпоставка, която все още не е използвана, получаваме въз основа на правило 6.8. Като вземем предвид свойството за извеждане, установено в теорема 6.5, точка b), заключаваме, че разглежданото логическо следствие е валидно и следователно това разсъждение е правилно.
Нека обърнем специално внимание на два вида най-често срещани неправилни разсъждения. Първата дискусия изглежда така. Изхождаме от някакво предположение и, разсъждавайки правилно, стигаме до правилното заключение. От това заключаваме, че направеното предположение е правилно. От гледна точка на математическата логика схемата на това разсъждение е следната: от истинността на твърденията се прави заключение за истинността на твърдението. За да отговорите на въпроса за правилността на такава схема за разсъждение, разгледайте два примера за разсъждение, базирано на тази схема.
Пример 7.11. "Ако едно число е естествено, то е рационално. Числото 17 е рационално. Следователно числото 17 е естествено."
Пример 7.12. "Ако едно число е естествено, то е рационално. Числото е рационално. Следователно числото е естествено."
Във всеки от тези аргументи и двете предпоставки са верни твърдения. Но в първия случай стигаме до вярно заключение (числото 17 е естествено), а във втория до грешно (числото не е естествено). Това означава, че схемата за извод, използвана в тези примери, е неправилна. Изневярата, невалидността на схемата означава, че няма връзка с логическа последица между предпоставките и заключението. Тук отново е уместно да се подчертае, че правилността на заключениетосе определя от формата на умозаключението, а не от истинността на включените в него твърдения. С други думи, когато се анализира правилността на разсъждението, трябва да се помни, че неговата правилност не съвпада с истинността на полученото заключение. Схемата на извода е това, което логиката изучава, а истинността на твърденията, включени в разсъждението, е прерогатив на науката (или практиката), от която са взети тези твърдения. Развивайки тази идея, можем да видим, че терминът "трябва" се използва в различни значения. Важно е да се разбере съществената разлика между следното:
Първият е отстояването на логиката, т.е. логическо следствие, второто - като свойство на връзката на реда в някакво числово множество има определено математическо следствие (т.е. следване в рамките на някаква математическа теория). Ще обсъдим тази връзка по-подробно в гл. 6 при изясняване на понятието доказателство.
И така, некоректността на разглежданата схема на разсъждение води до факта, че по отношение на първоначалното предположение е невъзможно да се направи заключение за неговата истинност: то може да бъде както вярно, така и невярно, а неговата истинност или лъжа по никакъв начин не е свързано с извършеното разсъждение. Същото заключение се потвърждава и от математическата логика: логическото следствие е несправедливо, тъй като формулата не е тавтология (проверете!).
Въпреки това разсъжденията по тази схема често се срещат в училищната практика, особено в алгебрата и тригонометрията. И така, когато се доказва една идентичност, разсъждението започва именно с тази идентичност: и двете й части се трансформират, така че да се превърне в някаква очевидна идентичност. След това се стига до заключението, че оригиналната самоличност е вярна. Разпознавате ли диаграмата? Например при доказване на тригонометричното тъждество
можете да срещнете такиваобосновавам се. „Умножаваме двете му части по . Получаваме:
Нека групираме термините от дясната страна:
Нека продължим групирането от дясната страна:
Нека разделим двете страни на . Получаваме: е добре позната самоличност. От това се заключава, че оригиналната самоличност е доказана.
В този случай правилното доказателство ще бъде да се извърши разсъждение в обратна посока, от известната (очевидна) идентичност към първоначалната, дадена идентичност. Тези разсъждаващи трансформации могат да бъдат направени тук и по този начин действително да се докаже дадената идентичност. Но често заключението по такава неправилна схема води до грешки, т.е. към неверни твърдения. Такива аргументи понякога се наричат развлекателна математика, където се наричат "парадокси" или "софизми".
Пример 7.13. Помислете за примера на софизма. Нека докажем това. От числата 3 и 7 изваждаме същото число 5. Получаваме: . Нека повдигнем на квадрат числата -2 и 2. В резултат на това получаваме равни числа: и . Следователно оригиналните числа също трябва да са равни: .
Ясно е, че полученото заключение е невярно. Нека анализираме горното разсъждение, за да открием грешката. Разсъждението се състои от три стъпки. Нека подчертаем тези стъпки по-ясно.
Първата стъпка (изваждане от числата 3 и 7 на цяло число 5). Първата предпоставка е "Ако и са цели числа, тогава тяхната разлика a - b съществува и е цяло число." Втората предпоставка е "Числата 3 и 5 (както и 7 и 5) са цели числа." Заключение "Разликите съществуват и ".
Това заключение е направено съгласно правилото на modus ponens: и следователно е правилно.
Втората стъпка (повдигане на квадрат на числата -2 и 2). Първата предпоставка е "Ако едно число е цяло число, тогава неговият квадрат съществува и е неотрицателно цяло число." Втората предпоставка е "Числото -2 (а също и числото 2) е цяло число." Заключение „Квадрати на числата -2 и 2съществуват и и ".
Изводът тук също е направен съгласно правилото modus ponens: и следователно не е допусната грешка и на тази стъпка от разсъжденията.
Третата стъпка (заключение за равенството на числата 3 и 7). Първата предпоставка е "Ако целите числа са равни, тогава техните квадрати са равни." Втората предпоставка е "Квадратите на целите числа -2 и 2 са: ". Заключение "Самите числа са равни -2 и 2, т.е., т.е.".
На този етап от разсъжденията изводът се прави по схемата: , което не е правилно. Следователно в това заключение беше допусната логическа грешка, която доведе до погрешно заключение, въпреки факта, че изхождахме от всички верни предпоставки.
Вторият често срещан тип неправилно разсъждение изглежда така. Изхождаме от някакво погрешно предположение и, разсъждавайки правилно, стигаме до някакво заключение. Оттук заключаваме, че полученото заключение е неправилно. От гледна точка на математическата логика схемата на това разсъждение е следната: от истинността на твърденията се прави заключение за истинността на твърдението. Следващите два примера за разсъждения, базирани на тази схема, ни позволяват да отговорим на въпроса за нейната валидност.
Пример 7.14. "Ако едно число е естествено, то е рационално. Числото не е естествено. Следователно числото не е рационално."
Пример 7.15. "Ако едно число е естествено, то е рационално. Числото не е естествено. Следователно числото не е рационално."
Във всеки от тези аргументи и двете предпоставки са верни твърдения. Но в първия случай стигаме до погрешно заключение (числото е рационално), а във втория до истинското (числото е ирационално). Това отново означава, че самата схема за конструиране на извода, използвана в тези примери, е неправилна, т.е. тази схема, за всички истински предпоставки, не дава непременно истинско следствие. Заключение въз основа напримери, се потвърждава от математическата логика: формулата не следва от формулите и , което е лесно да се провери, като се провери, че формулата не е тавтология.