ДОБАВЯНЕ ОТ ЛЯВО НА ДЯСНО - Магия на числата
Повечето от нас са обучени да правят писмени изчисления от дясно на ляво. И това е нормално за хартиена сметка. Но имам доста убедителни аргументи, обясняващи защо е по-добре да правите това отляво надясно, за да броите наум (тоест по-бързо, отколкото на хартия). В края на краищата вие четете числова информация отляво надясно и произнасяте числата отляво надясно, така че е по-естествено да мислите за (и да броите) числата отляво надясно. Като оценявате отговора отдясно наляво, вие го генерирате обратно. Това прави умствените изчисления толкова трудни. Освен това, за да оцените просто резултата от изчисление, е по-важно да знаете, че той е „малко над 1200“, отколкото че „завършва на 8“.
И така, прилагайки метода отляво надясно, вие започвате решението с най-значимите цифри на вашия отговор. Ако сте свикнали да работите върху хартия отдясно наляво, тогава този нов подход може да ви се стори неестествен. Но с практиката ще разберете, че това е най-ефективният начин за умствени изчисления. Въпреки че може би първият набор от задачи - добавяне на двуцифрени числа - няма да ви убеди в това. Но бъдете търпеливи. Ако следвате моите препоръки, скоро ще разберете, че единственият лесен начин за решаване на проблеми с трицифрено (и по-„цифрово“) събиране, всички проблеми с изваждане, умножение и деление е методът отляво надясно. Колкото по-рано се обучите да действате по този начин, толкова по-добре.
Двуцифрено събиране
Първо, предполагам, че знаете как да събирате и изваждате числа с една цифра. Ще започнем с добавяне на двуцифрени числа, въпреки че подозирам, че си доста добър в това умствено. Следващите упражнения обаче ще бъдат добра практика за вас, тъй като уменията за събиране на двуцифрени числа, които ще придобиете вв крайна сметка те ще бъдат необходими за решаване на по-трудни задачи със събиране, както всъщност за почти всички задачи с умножение, предложени в следващите глави. Това илюстрира фундаментален принцип на менталната аритметика, който е: „Опростете проблем, като го разбиете на по-малки, по-лесни за решаване проблеми.“ Това е ключът към почти всеки метод, представен в тази книга. Ако перифразираме старата поговорка, има три съставки за успех: опростяване, опростяване, опростяване.
Най-лесните проблеми със събиране на две цифри са тези, които не изискват да имате предвид никакви цифри (тоест, когато сборът на първите две цифри е 9 или по-малко, или сборът на последните две цифри е 9 или по-малко). Например:
За да добавите 47 + 32, първо добавете 30 към 47 и след това добавете 2 към получения сбор. След като добавите 30 и 47, проблемът се опростява: 77 + 2 е 79. Нека илюстрираме това по следния начин:
Сега нека опитаме изчисление, в което трябва да имате предвид числата:
Като добавите отляво надясно, можете да намалите проблема до 67 + 20 = 87 и след това да добавите 87 + 8 = 95.
Сега опитайте сами и след това проверете как го направихме ние.
Е, проработи ли? Добавихте 84 + 50 = 134 и след това 134 + 7 = 141.
Ако задържането на числа в ума ви ви кара да правите грешки, не се притеснявайте. Това вероятно е първият ви опит за систематично изчисление на ум и като повечето хора ще ви трябва време, за да запомните числата. Въпреки това, с натрупване на опит, ще можете автоматично да ги задържите в ума си. Като практика опитайте да решите още една задача устно и след това проверете отново как сме го направили.
Трябваше да добавите 68 + 40 = 108 и 108 + 5 = 113 (окончателен отговор). По-лесно ли ти беше? Ако искате да изпробвате силата си на още задачи насъбиране на двуцифрени числа, вижте примерите по-долу. (Отговорите и изчисленията са дадени в края на книгата.)
Събиране на трицифрени числа
Стратегията за добавяне на трицифрени числа е точно същата като добавянето на двуцифрени числа: добавяте отляво надясно и след всяка стъпка преминавате към нов, по-лесен проблем със събирането.
Първо добавете 300 към 538, след това 20, след това 7. След добавяне на 300 (538 + 300 = 838), проблемът се свежда до 838 + 27. След добавяне на 20 (838 + 20 = 858), проблемът се опростява до 858 + 7 = 865. Този вид мисловен процес може да бъде представен като следната диаграма:
Всички задачи със събиране наум могат да бъдат решени по този начин, като постепенно се опростява задачата, докато остане само да се добави едноцифрено число. Обърнете внимание, че примерът 538 + 327 изисква да имате предвид шест цифри, докато 838 + 27 и 858 + 7 изискват съответно само пет и четири цифри. Ако опростите проблем, решаването му става по-лесно!
Опитайте да разрешите наум следната задача със събиране, преди да разгледате нашето решение
Опростихте ли го, като добавихте числата отляво надясно? След като добавите стотици (623 + 100 = 723), остава да добавите десетки (723 + 50 = 773). Опростявайки проблема до 773 + 9, получаваме общо 782. Във формата на диаграма решението на проблема изглежда така:
Когато решавам такива задачи наум, не си представям числата, а се опитвам да ги чуя. Чувам примера 623 + 159 като шестстотин двадесет и три плюс сто петдесет и девет. Подчертавайки думата сто за себе си, разбирам откъде да започна. Шест плюс едно е равно на седем, така че следващата ми задача е седемстотин двадесет и три плюс петдесет и девет и т.н. Когато решавате такива проблеми, правете го и на глас. Укрепването под формата на звуци ще ви помогне да овладеете този метод много по-бързо.
Задачи задобавянето на трицифрени числа всъщност не е по-сложно от следното:
Вижте как се прави:
На всяка стъпка чувам (вместо да виждам) нов проблем с добавянето. В главата ми звучи нещо подобно:
858 плюс 634 е равно на 1458 плюс 34,
равно на 1488 плюс 4 е равно на 1492.
Вашият вътрешен глас може да звучи различно от моя (възможно е да ви е по-удобно да виждате числата, отколкото да ги чувате), но, както и да е, нашата цел е да „затвърдим” числата по пътя им, за да не забравяме на какъв етап от решаването на проблема сме и да не започваме отначало.
Нека се упражним още малко.
Първо добавете в главата си, след това проверете изчисленията.
Този пример е малко по-сложен от предишния, тъй като изисква да имате предвид числата и за трите стъпки.
Въпреки това може да използва алтернативен метод на броене. Сигурен съм, че ще се съгласите, че е много по-лесно да добавите 500 към 759, отколкото 496. Така че опитайте да добавите 500 и след това да извадите разликата.
Досега сте разделяли последователно второто число, за да го добавите към първото. Всъщност няма значение кой номер да разделите на части, важно е да следвате реда на действията. Тогава мозъкът ви няма да трябва да решава кой път да поеме. Ако второто число е много по-лесно за запомняне от първото, тогава те могат да бъдат разменени, както в следващия пример.
Нека завършим темата, като добавим трицифрени числа към четирицифрени. Тъй като паметта на средностатистическия човек може да побере само седем или осем цифри наведнъж, това е точното нещо, което можете да направите, без да прибягвате до устройства с изкуствена памет (като пръсти, калкулатори или мнемоники от глава 7). В много задачи със събиране едното или и двете числа завършват на 0, така чеНека да разгледаме примери от този тип. Да започнем с най-лесното:
Тъй като 27 стотици + 5 стотици се равняват на 32 стотици, просто добавяме 67, за да получим 32 стотици и 67, тоест 3267. Процесът на решаване е идентичен за следните задачи.
Тъй като 40 + 18 = 58, първият отговор е 3258. Във втория пример 40 + 72 дава повече от 100, така че отговорът е 33 стотици с опашка. Така че 40 + 72 = 112, така че отговорът е 3312.
Тези задачи са лесни, защото значимите числа (различни от нула) се добавят само веднъж и примерите могат да бъдат решени в една стъпка. Ако значимите цифри се добавят два пъти, тогава ще са необходими две действия. Например:
Задачата в две стъпки е схематично представена по следния начин.
Практикувайте упражненията за добавяне на трицифрени числа по-долу, докато можете лесно да ги правите наум, без да поглеждате назад. (Отговорите са в края на книгата.)
Карл Фридрих Гаус: математическо чудо
Детето чудо е много талантливо дете. Той обикновено се нарича "преждевременен" или "надарен", тъй като почти винаги изпреварва своите връстници в развитието. Немският математик Карл Фридрих Гаус (1777–1855) е едно такова дете. Той често се хвалеше, че се е научил да смята, преди да може да говори. На тригодишна възраст той коригира ведомостта на баща си, заявявайки: „Изчисленията са грешни“. Допълнителна проверка на записа показа, че малкият Карл е прав.
На десетгодишна възраст ученикът Гаус получава в урока следната математическа задача: каква е сумата на числата от 1 до 100? Докато неговите съученици трескаво правеха изчисления с хартия и молив, Гаус веднага си представи, че ако напише числата от 1 до 50 отляво надясно и от 51 до 100 отдясно наляво точно под списъка с числа от1 до 50, тогава всяка сума от числата, стоящи едно под друго, ще бъде равна на 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 ...). Тъй като имаше само петдесет такива суми, отговорът беше 101 x 50 = 5050. За учудване на всички (включително учителя), младият Карл получи отговора, като не само изпревари всички останали ученици, но и го изчисли изцяло наум. Момчето написа отговора на черната си дъска и го хвърли на бюрото на учителя с нахалните думи „Ето го отговорът“.
Учителят беше толкова изумен, че използва собствените си пари, за да купи най-добрия наличен учебник по аритметика и го даде на Гаус, заявявайки: „Това е извън моите възможности, не мога да го науча на нищо друго“.
Всъщност Гаус започва да преподава математика на други и в крайна сметка достига безпрецедентни висоти, имайки репутация на един от най-великите математици в историята, чиито теории все още служат на науката. Желанието му да разбере по-добре природата чрез езика на математиката е обобщено в мотото му, взето от „Крал Лир“ на Шекспир (заменяйки „закон“ със „закони“): „Природо, ти си моята богиня! В живота се подчинявам само на вашите закони.