Електрическо диполно излъчване - Физически факултет на Санкт Петербургския държавен университет
Електрическо диполно излъчване
10.1. Класическо съображение
В рамките на класическата електродинамика електрическата компонента на полето във вълновата зона на излъчване на атом на Томсън, извършващ хармонични трептения, се оказва пропорционална на амплитудата на неговия диполен момент (10.1). Стойността на съответния вектор на Пойнтинг се оказва пропорционална на квадрата на синуса на ъгъла между посоката на вибрациите на излъчващия атом и посоката към наблюдателя (10.2). Общата мощност, излъчвана от атома на Томсън във всички посоки, се получава в резултат на интегриране (10.2) върху повърхността на сферата с голям радиус (10.3), заобикаляща излъчвателя. В случай на излъчващ ротатор, излъчването може да се разглежда като резултат от съвместното излъчване на два осцилатора, извършващи хармонични трептения във взаимно перпендикулярни посоки (10.4), докато изразът за общата излъчена мощност се оказва същият като в случая на линеен осцилатор.
Диполно излъчване на класическия атом на Томсън.
Плътност на енергийния поток на излъчване на атом на Томсън
Общата мощност на излъчване на атома на Томсън (Q0 е амплитудната стойност на обобщената координата).
Плътност на потока на енергия на радиация от класически ротатор.
10.2. Квантово механично разглеждане
Изразът за вероятността за спонтанно излъчване на фотон в елемент от телесен ъгъл (10.5) е значително опростен в случай на излъчване от система от заряди, чиито размери са много по-малки от дължината на вълната. Тъй като интегрирането по пространствени координати, което е включено в процедурата за изчисляване на матричния елемент (10.5), се извършва в областта, където вълновите функции на електроните са значително различни от нула, експоненциалният фактор, включен в изразаможе да се разшири в редица на Тейлър (10.6), като се запази само първият член (10.7). Изчисляването на матричния елемент на оператора на импулса се свежда до изчисляването на матричния елемент на векторния оператор на диполния момент. Поради факта, че полученият в най-грубо приближение матричен елемент съдържа оператора на диполния момент, съответното излъчване се нарича диполно. Последното се оказва удобно представено като разширение по отношение на кръгови вектори. Както беше показано по-рано, всяка от проекциите на векторен оператор върху кръгови вектори се държи като една от трите сферични функции от първи ред по време на ротации на координатната система. Заместването на опростения израз за матричния елемент в общата формула (10.5) за вероятността за излъчване на фотони води до връзка (10.8), която изразява вероятността за диполно излъчване.
Вероятност за спонтанно излъчване на фотон в безкрайно малък телесен ъгъл.
Приближение, свързано с малкия размер на атома в сравнение с дължината на вълната.
Матричен елемент на оператора на импулса
Вероятност за излъчване на спонтанен диполен фотон с дадена поляризация в дадена посока.
10.3. Теорема на Вигнер-Екарт
Процедурата за изчисляване на матричните елементи, включени в (10.8), може да бъде значително опростена и намалена до процедурата за изчисляване на един интеграл от произведението на радиалните вълнови функции на началното и крайното състояние на оптичен електрон (10.9). По същество изложеното твърдение съставлява теоремата на Вигнер-Екарт, която значително опростява намирането на матрични елементи от типа (10.7). Опростяването е, че ъгловите зависимости на началното и крайното състояние на атома, както и компонентите на векторния оператор, се дават от известни сферични функции, интегралите на произведенията на коитомогат да се изчислят и съдържат в справочни таблици. За да се изчисли интегралът върху ъглите на произведението на сферичните функции, се оказва удобно да се разшири сферичната функция, съответстваща на крайното състояние, по отношение на основата, образувана от продуктите на сферичните функции на първоначалното състояние и функцията, описваща ъгловата зависимост на оператора (10.10). Заместването на това разширение в израза за матричния елемент на оператора на диполния момент, като се вземе предвид ортогоналността на състоянията с различни ъглови моменти и техните проекции, намалява изчисляването на интеграла върху ъглите до намиране на табличната стойност 3j—символ (10.11). Че. за да се намери матричният елемент от всяка проекция на оператора на диполния момент върху кръгови единични вектори, се оказва достатъчно да се изчисли само един едномерен интеграл върху разстояния, наречен редуциран матричен елемент.
В общия случай операторът, включен в матричния елемент, може да бъде разширен по отношение на сферични функции. За всеки член на такова разширение матричният елемент се изчислява с помощта на теоремата на Вигнер-Екарт (10.12).
Разделяне на променливи при изчисляване на интеграла, съответстващ на матричния елемент на оператора
c е компонентът на вектора на диполния момент.
Разширяване на ъгловата част на вълновата функция на крайното състояние по отношение на основата на продуктите на сферичните функции
Изчисляване на интеграла върху ъгли с помощта на 3j символи.