Елементарни функции
Думите „елементарни функции“ обикновено се използват за обозначаване на алгебрични полиноми, експоненциални, логаритмични, тригонометрични и обратни тригонометрични функции, както и всички видове функции, които се получават от горните с помощта на аритметични операции и образуването на сложна функция. Тези функции са добре проучени, те отдавна се използват широко в самата математика и в различни приложения. Първото запознаване с такива функции се случва в уроците по елементарна математика - оттук, трябва да се мисли, името.
Горното описание на набора от елементарни функции дава основание да се отделят основните елементарни функции в него (те понякога се наричат най-простите елементарни, но терминът "най-прости" може да бъде погрешно ориентиран). Основните елементарни функции включват:
а) постоянна функция
f(x)c=constс обхватX=R;
б) линейна функция
в) експоненциална функция с естествена основа или показател
f(x)= ,X=R;
г) натурален логаритъм (т.е. функция, обратна на експонентата)
д) тригонометрични функции
f(x)=tg x, X= ;
f(x)=ctg x, X= ;
е) обратни тригонометрични функции
Теорема 4.20.Всяка от основните елементарни функции е непрекъсната върху съответното множествоX.
Доказателство.а) Непрекъснатостта на постоянна функция очевидно следва от факта, че нейното увеличение е нула за всяка точка и за всяко увеличение
b) За функцияf(x)=x:
.
Следователно, използвайки определението за приемственост в езика “e-d”, е достатъчно да поставимd=d(e)=e.
в) Непрекъснатостта на показателя е малко по-трудна за установяване.
Нека предварително да отбележим, че разсъжденията по-долу използват алгебричните свойства на общата експоненциална функция, които са добре известни от училищния курс по математика: ако , тогава
.. .
и ако , тогава заu>0.
Нека е произволно избрано число. Тогава
.
По този начин, за да се докаже равенството, е достатъчно да се провери това за . С други думи, доказвайки непрекъснатостта на експонентата при нула, получаваме нейната непрекъснатост в произволна точка nR.
Освен това, като се има предвид, че , остава да се докаже равенството
.
В раздел 3.7 беше доказано, чеlimза всяко . Следователно, за произволно избраноe >0, съществуваmнN, за което
.
Некаd = >0. Тогава за всякоxот неравенствата0
,
.
Непрекъснатостта на показателя е доказана.
d) Функциятаf(x)=ln xе обратна на непрекъсната (както е доказано) и строго нарастваща (очевидно) експоненциална. Следователно, съгласно теорема 4.19, той е непрекъснат.
д) Акоf(x)=sin x,тогава
.
. Следователно, в условието за непрекъснатост в езика “e-d”, можем да поставимd=e.По подобен начин се доказва непрекъснатостта наf(x)= cos x.
Функциитеtg xиctg xса непрекъснати, защото са съотношения на непрекъснати функции:
.
е) Непрекъснатостта на обратните тригонометрични функции следва директно от теорема 4.19, тъй като ограниченията на интервалана съответните преки функции
g(y)= siny,;
g(y)= cos y,;
g(y)=tg y,;
g(y)=ctg y,;
са строго монотонни (проверете!)и, от това, което беше доказано в д), непрекъснато.
Имайки предвид казаното в началото на този раздел, можем да конкретизираме понятието елементарна функция.
Дефиниция 4.14.Клас елементарни функции е набор, който съдържа всички основни елементарни функции, както и тези, получени от тях с помощта на аритметични операции и операции за образуване на сложни функции.
Забележка.Понякога функциите, които са обратни на монотонните ограничения на функции от класа, описан в Дефиниция 4.14, също се наричат елементарни.
Теорема 4.21.Всяка елементарна функция е непрекъсната във всички точки от своята област на дефиниране.
Доказателство.Валидността на теоремата следва от факта, че, първо, основните елементарни функции са непрекъснати по предходната теорема, и, второ, по силата на теореми 4.10 и 4.11 за непрекъснатостта на сумата, разликата, произведението, съотношението, композицията на непрекъснатите функции. Добавяме, че твърдението на теоремата остава валидно за разширения клас елементарни функции въз основа на последната забележка.Теоремата е доказана.
Установената непрекъснатост на елементарните функции е важно и полезно свойство. Доказателството на много математически факти се основава на използването на непрекъснатостта на елементарни функции. За да илюстрираме, разгледайте два примера, свързани с втората забележителна граница.
Пример 4.8.Нека докажем това
.
За да направим това, използваме втората забележителна граница
.
Оттук следва, че
,
и поради непрекъснатостта на логаритмичната функция получаваме търсеното равенство.
Пример 4.9.Нека докажем това
.
Означаваме с . От непрекъснатостта на експонентата следва, чеy(x) ® 0катоx ® 0.Следователно
приx® 0.
В заключение отбелязваме, че елементарните функции не изчерпват набора от всички "полезни" функции. В различни въпроси на математическия анализ и математиката като цяло трябва да се вземат предвид важни функции, които не са елементарни. Такива функции обикновено се наричат специални.
Задача 4.10.Докажете, че функцията на Дирихле (Пример 4.3) не е елементарна.
1.1. Относно т.3
1.2. Малко история 5
1.3. За целта на този урок 6
2. Реални числа. Набори от числа 7
2.1. Предварителни бележки 7
2.2. Аксиоматична дефиниция на множеството от реални числа 8
2.3. Обсъждане на аксиоми 1-14 и някои следствия от тях 10
2.4. Теорема за инфимума 12
2.5. Естествени числа 14
2.6. Няколко забележки върху числата 17
3. Цифрови поредици 18
3.1. Определение на последователност. Числови последователности. Примери 18
3.2. Ограничение на последователността 20
3.3. Ограниченост на сходящата се последователност. Теорема за гранична уникалност 23
3.4. Неравенства и преход до границата. Лема за двама полицаи 25
3.5. Монотонни поредици 27
3.6. Безкрайно малки последователности 30
3.7. Конвергенция и аритметични операции 32
3.8. Критерий на Коши 35
3.9. Последователности. Частични ограничения 37
3.10. Безкрайно големи последователности 41
3.11. Още веднъж за наборите от номера 43
4. Функции на една променлива 46
4.1. Първоначални определения. Терминология 46
4.2. Ограничение на функцията 48
4.3. Свойства на функции, които имат ограничение от 51
4.4. Критерий на Коши за съществуване на лимит на функция 52
4.5. Разширяване на понятието граница. Едностранни ограничения 53
4.6. Забележителни граници 55
4.7. Непрекъснатост на функцията 58
4.8. Свойства на непрекъснатите функции 61
4.9. Свойства на функции, непрекъснати на интервал 62
4.10. Точки на непрекъснатост и прекъсване на монотонна функция 66
4.11. Обратна функция 69
4.12. елементарни функции. Теорема за непрекъснатост 71