Естествено число

Естествени числа(от лат. naturalis - естествен) - числа, които възникват естествено при броене (например 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...). Поредицата от всички естествени числа, подредени във възходящ ред, се наричаестествена редица[1] .

Има два подхода към дефинирането на естествените числа:

естествени числа — числа, произтичащи отброене (номериране)обекти (първи,втори,трети,четвърти,пети…);
естествените числа са числа, които се появяват приозначаване на броя наелементи (0 елемента,1 елемент,2 елемента,3 елемента,4 елемента,5 елемента…).

В първия случай редицата от естествени числа започва от единица, във втория - от нула. Няма общо мнение за повечето математици относно предпочитанието на първия или втория подход (т.е. дали да се счита нулата за естествено число или не). В преобладаващата част от българските източници традиционно се възприема първият подход [2] . Вторият подход, например, се използва в писанията на Никола Бурбаки, където естествените числа се дефинират като мощности на крайни множества.

Отрицателните и нецелите (рационални, реални, ...) числа не се класифицират като естествени.

Наборът от всички естествени числа обикновено се означава със символа N>gt; . Множеството от естествени числа е безкрайно, тъй като за всяко естествено число n има естествено число, по-голямо от n.

Наличието на нула улеснява формулирането и доказването на много аритметични теореми за естествени числа, така че първият подход въвежда полезната концепция заразширен естествен ред, който включва нула. Разширената серия се обозначава с [2] N 0 _> или Z 0_> .

Съдържание

Аксиоми на Пеано за естествени числа

Горните аксиоми отразяват нашето интуитивно разбиране за естествените редове и числовата линия.

Нула като естествено число

Понякога, особено в чуждестранната и преводната литература, първата и третата аксиома на Пеано заменят единица с нула. В този случай нулата се счита за естествено число. Когато е дефинирана от гледна точка на класове от еквивалентни множества, нулата е естествено число по дефиниция. Би било неестествено да го изхвърлите специално. Освен това това значително би усложнило по-нататъшното изграждане и приложение на теорията, тъй като в повечето конструкции нулата, както и празното множество, не е нещо изолирано. Друго предимство на разглеждането на нулата като естествено число е, че N>gt; образува моноид.

Теоретично-множествена дефиниция на естествени числа (дефиниция на Фреге-Ръсел)

Според теорията на множествата единственият обект за конструиране на всякакви математически системи е множеството.

По този начин естествените числа също се въвеждат въз основа на концепцията за множество, съгласно две правила:

Дефинираните по този начин числа се наричат ординални.

Нека опишем първите няколко редни числа и съответните им естествени числа:

Размерът на безкрайно множество се характеризира с понятието „мощност на множество“, което е обобщение на броя на елементите на крайно множество към безкрайни множества. По величина (т.е. кардиналност) наборът от естествени числа е по-голям от всеки краен набор, но по-малък от всеки интервал, като например интервала (0, 1). Множеството от естествени числа има същата мощност като множеството от рационални числа. Множество със същата мощност като множеството от естествени числа се нарича изброимо множество. Да многоЧленовете на всяка последователност са изброими. В същото време има последователност, в която всяко естествено число се среща безкраен брой пъти, тъй като множеството от естествени числа може да бъде представено като изброимо обединение на непресичащи се изброими множества (например [5] , N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 ) 2 k ) =\bigcup \limits _^\left(\ bigcup \limits _^(2n+1) 2^\right)>).

Затворените операции (операции, които не извеждат резултат от набор от естествени числа) върху естествени числа включват следните аритметични операции:

Освен това се разглеждат още две операции (от формална гледна точка те не са операции върху естествени числа, тъй като не са дефинирани завсичкидвойки числа (понякога съществуват, понякога не)):

Трябва да се отбележи, че операциите събиране и умножение са основни. По-специално, пръстенът от цели числа се дефинира точно чрез двоичните операции събиране и умножение.

Основни свойства

Комутативност на събирането:

a + b = b + a.

Комутативност на умножението:

a ⋅ b = b ⋅ a .

Асоциативност на добавянето:

( a + b ) + c = a + ( b + c ) .

Асоциативност на умножението:

( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ).

Разпределимост на умножението по отношение на събирането:

< a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c ( b + c ) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end>> .

Алгебрична структура

Събирането превръща множеството от естествени числа в полугрупа с единица, ролята на единица изпълнява0. Умножението също трансформира набора от естествени числа в полугрупа с единица, докато елементът на идентичност е1. С помощта на затваряне по отношение на операциите на добавяне-изваждане и умножение-деление води до групи от цели числа Z>gt; и рационални положителни числа Q + ∗ _^> съответно.

Теоретико-множествени определения

Нека използваме дефиницията на естествените числа като класове на еквивалентност на крайни множества. Ако обозначим класа на еквивалентност на множествотоA, генерирано от биекции, използвайки квадратни скоби: [A], основните аритметични операции се дефинират, както следва:

Може да се покаже, че получените операции върху класове са въведени правилно, тоест не зависят от избора на елементите на класа и съвпадат с индуктивните определения.