Физика на твърдото тяло
сингулярности се наричат сингулярности на van Xoea , Те възникват за тези стойности на нея, за които повърхностите на постоянна енергия Sn (її) съдържат
точки, където количеството VJ6n(k) изчезва. Производните на плътността на нивата при енергията на Ферми влизат във всички членове на разширението на Зомерфелд, с изключение на първия от тях 2); това означава, че в случаите, когато има точки с нулева стойност Vfjl(k) на повърхността на Ферми, трябва да очакваме появата на аномалии в нискотемпературните свойства на металите 3).
Типичните характеристики на van Hove са изобразени на фиг. 8.3 и разгледана в задача 2 от гл. 9.
Това приключва нашето обсъждане на общите свойства на едноелектронните нива в периодичен потенциал 4). Следващите две глави изследват два различни и много важни ограничаващи случая, които могат да се разглеждат като конкретни илюстрации на доста абстрактния анализ, направен в тази глава.
1. Периодични потенциали в едномерния случай
В едномерния случай се оказва възможно да се продължи общото изследване на нивата на електроните в периодичен потенциал, което не е свързано с детайлните характеристики на този потенциал. Едномерният случай не е типичен в много отношения (тъй като не изисква концепцията за повърхност на Ферми) и дори може да бъде подвеждащ (в него изчезва възможността за припокриване на лентите, което се оказва много вероятно в
Фиг. 8;4. Едномерен периодичен потенциал U(x). Обърнете внимание, че йоните са разположени в местата на решетката на Bravais с константа на решетката a. Удобно е да се приеме, че тези точки имат координати (n -) - V2) a и изберете потенциала по такъв начин, че да достигне нула в точките, където са разположени йоните.
случай на две и три измерения). въпреки товаВсе пак е по-малко интересно да се проследи как някои от характерните черти на триизмерната структура на лентата, изчислени приблизително в гл. 9 - възниквам в едномерния случай в резултат на точно разглеждане.
x) Всъщност същите характеристики се срещат в теорията на вибрациите на решетката. Вижте гл. 23. (Сингулярностите на Ван Хоув възникват при тези стойности на енергията %, при които изоенергийните повърхности променят своята топология. - Ред.)
2) Вижте например гл. 2, задача 2, т. „д“.
3) Съществуването им е предсказано от И. М. Лифшиц. Те се наричат фазови преходи от вида 2V2.—Прим. изд.
4) В задача 1 общият анализ продължава за по-простия случай на едномерен потенциал, въпреки че този случай е донякъде подвеждащ.
Фиг. 8.3. Сингулярности на Van Hove в плътността на нивата (означени със стрелки, перпендикулярни на оста %). Електронни нива в периодичен потенциал
Да кажем, че имаме едномерен периодичен потенциал U(x) (фиг. 8.4). Удобно е да се приеме, че йоните са в покой в минималните точки на потенциала U, които по предположение определят нулевата стойност на енергията. Ще разгледаме периодичния потенциал като суперпозиция на потенциални бариери v (x) с ширина a, чиито центрове са разположени в точките X = + pa (фиг. 8.5):
Всеки член v(x - pa) е потенциална бариера, през която електронът е принуден да тунелира, за да премине от йон, разположен от едната страна на точката pa, до йон, разположен от другата страна на тази точка. За простота приемаме, че V(x) = v(-x) (това е едномерен аналог на симетрията по отношение на
Фиг. 8.5. Частици, падащи отляво (а) и отдясно (б) върху една от разделящите ги бариери
един от друг съседни йони в периодичен потенциал,показано на ФИГ. 8.4. Падащите, предаваните и отразените вълни са обозначени със стрелки, които са успоредни на посоките на разпространение и имат дължина, пропорционална на съответните амплитуди.
инверсия), но няма да правим други предположения за V, така че формата на периодичния потенциал U остава доста произволна.
Лентовата структура на едномерно твърдо тяло се изразява най-просто чрез характеристиките на електрон, разположен в потенциала на отделна бариера v(x). Затова нека разгледаме електрон, който пада отляво върху потенциалната бариера и има енергия % = K1K2Ilm1). Тъй като V (x) = 0 за I X I>gt; a/2, в тези области вълновата функция mr(x) ще има формата
Този процес е показан схематично на фиг. 8.5, а.
Коефициентите на предаване (t) и на отражение (r) дават амплитудата на вероятността електронът да тунелира през бариерата или да бъде отразен от нея; тяхната зависимост от вълновия вектор K на падащата вълна се определя от детайлните свойства на потенциала v. Въпреки това, много характерни характеристики на лентовата структура, съответстваща на периодичния потенциал U, могат да бъдат определени, като се използват само най-общите свойства на коефициентите t и r. Тъй като потенциалът v е четен, функцията Tpr(x) = (-x) също ще бъде решение на уравнението на Шрьодингер с енергия %. От (8.65) следва, че функцията zz(x) има вида
Очевидно той описва частица, която пада върху бариерата отдясно, както е показано на фиг. 8.5.6. Предишна 91 92 93 94 95 96 .. 203 >> Следващ