Формула за тригонометрични функции за дължина на дъга от окръжност, диаметър на дължината на дъга от окръжност
В този урок ще прегледаме дефиницията на функция и обща информация за нея: домейн, диапазон и графика. След това си припомнете какво е кръг с числа, кръг и части от кръг и кръг с числа. Даваме дефиницията на радиан и разглеждаме окръжност с единичен радиус. След това разгледайте четири четвърти от окръжност и решете няколко примера за намиране на четвърти и дължина на дъга от окръжност за единична окръжност.
Тема: Тригонометрични функции
Урок: Въведение (дължина на дъга от окръжност)
1. Тема на урока, въведение
Нашата непосредствена цел е да въведемтригонометрични функции
2. Повторение: функция, основна информация за нея
Нека си припомним какво е функция.
Определение: Функцията е закон за съответствие, който свързва един елемент с всеки елемент.
числови множества;
реални числа.
Множеството се нарича домейн на дефиницията на функцията или домейн на валидни стойности.
Множеството се нарича набор от стойности на функцията.
независим аргумент;
зависима функция.
Единственото изискване за закона за съответствие е уникалност от Всеки съответства на една стойност
Например ученик напуснал дома си и отишъл на училище. Нека обозначим времето за пътуване, разстоянието от дома до училището (фиг. 1).
Във всеки един момент той е само на едно разстояние от дома. Не може един ученик да е едновременно на 3 км и на 5 км от дома.
Следователно много физически процеси могат да бъдат описани с функция, но е необходимо да се спазва уникалността от аргумента към функцията: всяка стойностаргументът трябва да съвпада само с една стойност на функцията.
Начертаваме стойностите на аргумента по оста x, за тригонометрични функции - върху числовия кръг.
Пример 1. Графиките на фигури 2, 3, 4 графики на функции ли са?
Графиката на фиг. 2 не е графика на функция, тъй като една стойност x съответства на две стойности y. Това е графика на уравнението на окръжност.Графики 3 и 4 са съответно графики на функции.
Припомнихме си какво е функция и основна информация за нея, както и факта, че по правило при функциите аргументът се нанася по оста х. Нека разгледаме по-отблизо оста х.
3. Числова ос
Всяка права линия става цифрова ос (координатна ос) (фиг. 5), ако са изпълнени три условия:
1. Началната точка е маркирана.
3. Има посока.
За да въведем тригонометрични функции, ще трябва да изградим числова окръжност, така че трябва да можем да определим обиколката на окръжност,дължина на дъга от окръжност и съответните ъгли.
4. Кръг, кръг и неговите части
Нека разгледаме кръг, кръг и техните части.
Окръжност е съвкупността от всички точки в една равнина, които са на еднакво разстояние от една точка – центъра. Ключовата дума е „всички“ (фиг. 6).
Ъгъл от един радиан е такъв централен ъгъл, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса на окръжността (фиг. 7).
Колко радиана има в кръг? (фиг. 8).
Формулата за обиколката на кръг Това означава, че радиусите се вписват в един кръг. Оттук
Според получената формула е възможно да се изчислят стойностите на радианите на главните ъгли, например
Колко градуса има в един радиан?
Колко радиана има в един градус?
Ъгъл от 1 радиан е по-голям от ъгъл от , илипо-малко? Отговорът ще даде сравнение на хорда с дължина R, съответстваща на ъгъл при и дъга с дължина R, съответстваща на ъгъл от 1 rad.
.
Централният ъгъл AOB съответства на кръговия сектор AOB и дъгата AB. Нека си припомним как да изчислим площта на кръгъл сектор и дължината на дъгата на окръжност (фиг. 9).
Когато изучавате тригонометрични функции, е важно да можете да начертавате дъги върху окръжности.
В тригонометрията радиусът на числова окръжност е 1, така че
Знанието как да изчислим дължината на дъга ще ни помогне да изчислим централния ъгъл и обратно.
Пример 2. Дадена е окръжност с радиус . Намирам:
1) Обиколката.
2) Обиколката.
3) Дължината на дъгата на окръжност, съответстваща на централния ъгъл в рад.
1)
2)
3)
Пример 3. Дадена е окръжност с радиус, всяка четвъртинка е разделена на две (фиг. 11). Намерете дължините на дъгата
1)
2)
3)
Дължината на всяка четвърт е Това означава, че дължината на всяка от дъгите е равна на Дължините на желаните дъги са равни:
1)
2)
3)
6. Заключение, заключение
Разгледахме числовата окръжност и окръжността, техните най-важни части, изведехме връзката между радиана и обиколката, научихме се как да намираме площта на сектора и дължината на дъгата на окръжност и да решаваме съответните задачи. Препоръчително е да разрешите редица проблеми сами.
Препратки
1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Задачна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. – М .: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., ШварцбурдS. I. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика). - М .: Образование, 1996.
4. Галицки М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Задълбочено изучаване на алгебрата и математическия анализ.-М .: Образование, 1997.
5. Колекция от задачи по математика за кандидати за технически университети (под редакцията на M.I.Skanavi).-M .: Висше училище, 1992.
6. Мерзляк А. Г., Полонски В. Б., Якир М. С. Алгебричен симулатор.-К .: А. С. К., 1997.
7. Сахакян С. М., Голдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебра и началото на анализа (наръчник за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции) - М .: Образование, 2003.
8. Карп А. П. Колекция от проблеми по алгебра и принципи на анализ: учебник. надбавка за 10-11 клетки. с дълбока проучване математика.-М .: Образование, 2006.
Домашна работа
Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Задачна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. – М .: Мнемозина, 2007.
Допълнителни уеб ресурси
2. Интернет портал Проблеми. ru.
3. Образователен портал за подготовка за изпити.