Формулиране на аксиоматична теория
Формулиране на аксиоматична теория - раздел Образование, аксиоматична теория Този раздел въвежда концепциите за формулиране на теория и независимост на системата.
Този раздел въвежда понятията за формулиране на теория и независимост на система от аксиоми.
Както вече беше споменато, неформалната теорияT включва някакъв списъкT0от недефинирани термини, списъкT1от дефинирани термини, списък отP0аксиоми и списъкP1от всички други твърдения, които могат да бъдат изведени отP0според някои фиксирани логически правила. Целта на набораT0е да се получи от него наборътT0ÈT1от всички термини, използвани в теориятаT ; по подобен начин наборътP0е необходим, за да се получи наборътP0ÈP1от всички теореми на теориятаT. Подредена двойка обикновено се наричаформулировкана теориятаT.
Разглеждането на теориятаT може да ни накара да открием голямо разнообразие от полезни други нейни формулировки. Уточняването на която и да е от тези формулировки е еквивалентно на уточняване на някакво подмножество от множествотоT0ÈT1и подмножество от множествотоP0ÈP1, състоящо се от предложения, изразими по отношение на елементите на множеството, и всички други теореми на тази теория могат да бъдат изведени от предложенията, включени в . За да бъде една двойка изгледи формулировка на теориятаT, очевидно е достатъчно термините отT0да могат да бъдат дефинирани по отношение на термини от и че изявленията отP0могат да бъдат изведени от изявления от .
Много известни аксиоматични теории имат различни формулировки. Различните формулировки на една теория не са нищо друго освен различни възможни подходи към една и съща математическа структура.В зависимост от възприетите критерии може да се предпочете една или друга от тези различни формулировки. Причини за такова предпочитание могат да бъдат например естетически съображения; Важна роля тук може да изиграе желанието да има възможно най-прост набор от аксиоми, както и възможността за по-елегантни доказателства на теореми. Някои изследователи предпочитат всяка конкретна формулировка на теорията, намирайки я за „по-естествена“ от други. Други са склонни да имат формулировка, която включва минимален брой основни термини или аксиоми.
Изглежда, че нищо не зависи от формулирането на аксиоматичната теория. Две различни формулировки и една теорияT очевидно дефинират един и същи набор от теореми. Изследователите обаче, изхождайки от различни формулировки, често развиват теорията в различни посоки. В същото време наборът от теореми, доказани от изследователи, които са взели формулировката за основа, може да се различават значително от набора от теореми, доказани от изследователи, които са взели формулировката за основа. Различните формулировки на теорията в много случаи водят до различни линии на изследване. Например, теорията на графите и теорията на бинарните отношения се различават значително една от друга в набора от доказани теореми, въпреки че по същество са различни формулировки на една и съща теория.
Формулировките на неформалната теория могат да се характеризират с такова понятие като независимост на набор от аксиоми.
Определение 6.1. Набор от аксиоми се наричанезависим, ако изключването на която и да е аксиома от този набор води до намаляване на запаса от теореми; в противен случай наборът от аксиоми се нарича зависим.
Една аксиома (разглеждана като елемент от набор от аксиоми с някаква формулировка)е независим, ако изключването му от този набор намалява предлагането на теореми, и е зависим в противен случай. Ясно е, че независимата аксиома не може да бъде изведена от останалите аксиоми. Разбира се, независимостта на всеки набор от аксиоми е еквивалентна на факта, че всяка аксиома от този набор е независима.
Разгледайте последователна теорияT с формулировката и некаAе една от нейните аксиоми. За да проверим независимостта на аксиоматаAот другите аксиоми, трябва да докажем, че нитоA, нито могат да бъдат изведени от . За да направите това, достатъчно е да изградите два модела на теорията с формулировката, така че в единия от тях да бъде изпълнено изречениетоA(това ще бъде моделът на теориятаT ), а в другия - . Тъй като последователността на теориятаT се счита за установена по-рано, първият модел всъщност не е необходимо да се изгражда. Достатъчно е да се построи вторият модел - моделът на теорията с формулировката .
Например, независимостта на системата от аксиомиA1, A2, A3от теорията на афинните равнини може да бъде доказана чрез конструиране на три интерпретации на теорията, за всяка от които една от аксиомитеA1, A2, A3не е изпълнена, а другите две са удовлетворени (фиг. 6.1).
Ориз. 6.1. Три интерпретации за доказване на независимостта на аксиомиA1, A2, A3съответно
Независимостта не е изискване за система от аксиоми. Независимостта на системата от аксиоми свидетелства в известен смисъл за елегантността на формулировката на теорията, съдържаща тази система. Не винаги е целесъобразно една или друга аксиоматична теория да избира независима система от аксиоми: елегантността на една система от аксиоми може да доведе до тромави доказателства на теоремите на теорията.