Функции на много променливи
Функции на много променливи - Лекция, раздел Философия, Теореми за диференцируеми функции План 1. Въведение. 2. Функция на две променливи.
2. Функция на две променливи. Методи на задачите. Домейн.
3. Функционални увеличения: частни и общи.
5. Частни производни от първи ред
16.1. Въведение
Много малко процеси зависят от една променлива. Животът е многостранен и зависи от много фактори. Например площта на правоъгълникSе функция на неговата ширинаxи дължинаy, обемът на успоредникVе функция на неговата ширинаx, дължинаyи височинаzи т.н. В първия случай имаме работа с функция на две променливи, във втория - на три променливи. Лесно е да се дадат примери, когато четири или повече променливи ще бъдат включени в определящия брой фактори. Изучихме функцията на една променлива доста пълно, сега нека преминем към функцията на две променливи.
16.2. Функция на две променливи. Методи на задачите. Обхват
Дефиниция 16.1. Ако всяка двойка (x, y) от стойности на две независими променливиxиyот някаква област на тяхната промянаDсъответства на определена стойност на стойносттаz, тоzефункция на x и y в областта D.
Символично функция на две променливи се обозначава по следния начин:
.
Подобно на функция на една променлива, тя може да бъде дефинирана аналитично, таблично и графично. Преходът от един метод на настройка към друг се извършва по същите правила като за функция на една променлива.
Нека функцията е дадена с формулата . Нека направим таблица със стойности за него, в първия ред на която ще има стойностиx, а в първата колона - стойностиy.Избираме произволни стойности заxиy, аzсе получава според даденото правило.
За да построите графика на тази функция, трябва да повдигнете перпендикуляраzот всяка точкаM(x, y) на равнинатаXOYи след това да комбинирате получените точки. Трябва да се отбележи, че графичното представяне на функция на две променливи в триизмерна декартова основа обикновено представлява определена повърхност. В лекция 8 показахме, че конструкцията на линия „по точки“ страда от приближение и дори грешка, тъй като не може да вземе предвид такива важни точки като прекъсвания, екстремуми и т.н. Следователно, ако е необходимо да се изгради повърхностна графика, те решават проблема по общ начин, определяйки неговия тип и след това пристъпват към изграждането.
Ако на равнина най-простата и най-изследвана линия е права линия, тогава най-простата повърхност в пространството е равнина, чието уравнение в общ вид е написано, както следва:
. (16.1)
Разделяйки двете страни на равенството наD, получаваме еквивалентно уравнение
, (16.2)
Където , . Нарича сеуравнение на равнината "в сегменти".
Съгласно полученото уравнение (16.2) е лесно да се изобрази равнина в декартова координатна система. Да намерим пресечните му точки с координатните оси: с остаОХ: , , с остаOY: , , и с остаОZ:, . Свързваме получените точки, като ги продължаваме във всички посоки, и получаваме изображението на равнината.
За нашия случай, , , . Нека построим тази равнина по точки