ФУНКЦИЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ
случайна променливаX -функцията Q(l, X),, дефинирана за всички неотрицателни l и случайна променлива X от релацията
К. ф. Q(l, X) е неотрицателна, полуадитивна, монотонно ненамаляваща функция заl>0,непрекъсната отдясно и такава, че
Обратно, всяка функция, която има тези свойства, може да се разглежда като C.F. някаква случайна променлива.
К. ф. е удобна характеристика на разсейването на стойностите на случайна променлива, особено за количественото изразяване на факта на увеличаване на разпространението при сумиране на независими случайни променливи. Първата абсолютна, т.е. съдържаща само абсолютни константи, оценка за концентрацията на сума при дадени концентрации на термини е получена от А. Н. Колмогоров [4] по метод, който развива метода на П. Леви [2]. По-късно този резултат беше засилен (виж [5]); беше получена формулировка, която включва, като специални случаи, всички намерени преди това резултати:
Където
X 1,.Х n- набор от независими случайни променливи, ,i=l, 2, . . .,n и Cе абсолютна константа. Разграничават се два вида оценки: оценки Q(l, S) от локален тип (виж [6]); оценки Q(l, S) от интегрален тип (виж [7]).
Двойната характеристика на разсейването, тясно свързана с C.f., е функцията на разсейване на случайната променлива X:
при Възниква (вижте[8])следното неравенство
ство, свързващо K. f. и характерен. функция f(t) на случайна променлива X:
както и неравенствата
къдетоX 1иX 2са независими случайни променливи. Има опити да се прехвърлят определени резултати относно K. f. за случая на сумиране на независими случайни вектори (виж [9]).
Реф.: [1] Doeblin W., Levy P., "C. r. Acad. Sci.", 1936, t.202, стр. 2027-29; [2] Леви П., Theorie de l'addition des variables alfiatoire, 2 ed., P., 1954; [3] Doeblin W., "Bull. sci. math.", 1939, t. 63, стр. 23-64; [4] Комогоров А., "Ann. de l'lnst. H. Poincare", 1958, t. 16, стр. 27-34; [5] Б. А. Рогозин, „Теория на вероятностите и нейните приложения“, 1961 г., том 6, c. 1 сек. 103-108; [6] Kesten H., "Math. Scand.", 1969, v. 25стр. 133 - 44; [7] Б. А. Рогозин, "Доклади на Академията на науките на СССР", 1973 г., т. 211, с. 1067 - 70; [8] В. В. Петров, Суми на независими случайни величини, Москва, 1972; [9] Esseen CG, "Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb.", 1968, Bd 9, S. 290-308.